Задача 3.6.20 Решение | Деформации и напряжения. Скорость волн

Условие

3.6.20. а. Объясните, почему увеличивается импульс выделенного на рисунке участка струны. Определите скорость изменения этого импульса через массу единицы длины струны $\rho$ , деформацию в области изгиба $\varepsilon \ll 1$ и скорость смещения области изгиба $$c$$ .

б. Какова сумма сил, действующих на выделенный на рисунке участок струны, если сила натяжения ее равна $$F_0$$ ? Выразите скорость смещения области изгиба струны через $$F_0$$ и $\rho$ .

Решение

Пункт а

Возмущение передвигается вправо со скорстью $$c$$ . В такой форме скорости частиц поперечные в возмущении равны $$u$$ , одинаковы.

Продольный импульс выделенного участка постоянен, значит можно записать

$у$$F_\text{у}\cos\alpha = F_0,$$$

где $у$F_\text{у}$$ есть сила натяжения в струне в возмущении, $\tan\alpha = b/L$ .

Сила $у$F_\text{у}$$ постоянна в области возмущения и направлена вдоль струны.

Вертикальная составляющая силы $у$F_\text{у}$$

$у$$F_\text{у}\sin\alpha$$$

нескомпенсирована и дает изменение импульса в поперечном направлении у выделенного участка.

Из геометрии смещения за время $$dt$$ в выделенном участке добавляется импульс $$dp$$ элемента струны $\rho c\,dt$ :

$dp = \rho c u\,dt,$

откуда с учетом предыдущей задачи $$3.6.19$$ ( $г$г = -\varepsilon c$$ )

$\boxed{\frac{dp}{dt} = -\rho c^2\varepsilon.}$

Пункт б

Как сказано в пункте а,

$уу$$\frac{dp}{dt} = F_\text{у}\sin\alpha,\quad F_\text{у}\cos\alpha = F_0.$$$

откуда с учетом $\varepsilon = -\tan\alpha$ проекция суммарной силы на вертикальную ось (принимаем эту ось вверх)

$сум$$\boxed{F_\text{сум} = \frac{dp}{dt} = -F_0\varepsilon.}$$$

Из решений в рамках

$с$$с = \sqrt{\frac{F_0}{\rho}}.$$$

Ответ

а.

$\frac{dp}{dt} = -\rho c^2 \varepsilon.$

б.

$сум$$F_\text{сум} = F_0 \varepsilon;\quad c = \sqrt{F_0/\rho}.$$$

Формулы в этом решении весь справочник

\vec p = m\vec v, \qquad \Delta\vec p = \vec F\,\Delta t

Импульс и импульс силы 2.2 · ещё в 34 задачах

F = \rho S v^2

Сила потока 2.2 · ещё в 8 задачах

\sigma = E\varepsilon, \qquad \varepsilon = \frac{\Delta L}{L}, \qquad k = \frac{ES}{L}

Закон Гука для растяжения. Модуль Юнга 3.6 · ещё в 20 задачах

струнызвука$c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}, \qquad c_{\text{струны}} = \sqrt{\frac{F}{\rho_l}}, \qquad c_{\text{звука}} = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}$

Скорость упругих волн 3.6 · ещё в 20 задачах

\Delta p = \rho c\, u, \qquad \varepsilon = -\frac{u}{c}

Давление и скорость частиц в волне 3.6 · ещё в 22 задачах

воднородномполеизпокоя$\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F}, \qquad p = eEt\ \text{(в однородном поле из покоя)}$

Второй закон Ньютона в теории относительности 14.4 · ещё в 8 задачах