14. Специальная теория относительностиФормулы Савченко, глава 14 из 14, 16 формул
Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.
Скорости вдоль одной прямой складываются так, что результат никогда не превышает $c$, а скорость света в любой системе остаётся $c$. При $u', v \ll c$ формула переходит в галилеево сложение. Поперечная составляющая скорости меняется тоже, из-за замедления времени.
В отличие от звука, для света важна только относительная скорость. К классическому множителю $1 + \beta\cos\alpha$ добавляется замедление времени источника, поэтому даже при поперечном движении частота меняется в $\gamma$ раз. Отражение от движущегося зеркала даёт этот множитель дважды.
тот же угол в системе, движущейся со скоростью $\beta c$ навстречу
$\beta$
$v/c$
Это сложение скоростей для света, $u_x = c\cos\theta$. Для движущегося наблюдателя лучи прижимаются к направлению его движения, и излучение быстрой частицы собирается в узкий конус с углом порядка $1/\gamma$.
Множитель, в который растягиваются промежутки времени и сокращаются продольные размеры движущегося тела. При $v \ll c$ он равен $1 + v^2/2c^2$, при $v \to c$ неограниченно растёт.
Сокращаются только размеры вдоль скорости, поперечные не меняются. Поэтому площадь пластины, движущейся в своей плоскости, уменьшается в $\gamma$ раз, а поверхностная плотность заряда на ней во столько же раз растёт.
$$\Delta t = \frac{\Delta\tau}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta\tau$$
$\Delta\tau$
собственное время, по часам, движущимся с телом
$\Delta t$
тот же промежуток по неподвижным часам
Движущиеся часы идут медленнее. Поэтому нестабильная частица с собственным временем жизни $\tau$ пролетает в лаборатории путь $\gamma v\tau$, а не $v\tau$. Собственное время короче любого другого между теми же двумя событиями.
то же в системе, движущейся со скоростью $v$ вдоль $x$
Из них следуют замедление времени, сокращение длины и сложение скоростей. События, одновременные в одной системе и разнесённые на $\Delta x'$, в другой разделены промежутком $\gamma v\Delta x'/c^2$, это относительность одновременности. Интервал $c^2t^2 - x^2$ одинаков во всех системах.
Электрическое и магнитное поля есть одно поле, увиденное из разных систем. В системе, движущейся в чистом магнитном поле, появляется электрическое $\gamma vB$, и наоборот. Величины $E^2 - c^2B^2$ и $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$ не меняются, поэтому, например, чисто электрическое поле нельзя сделать чисто магнитным. В гауссовых единицах вместо $v$ пишут $v/c$, а вместо $v/c^2$ пишут $v/c$.
Поле равномерно движущегося заряда получается преобразованием кулоновского поля из его системы покоя. Поперёк скорости поле в $\gamma$ раз сильнее, вдоль скорости в $\gamma^2$ раз слабее, а магнитное поле при любой скорости равно $\mathbf{v}\times\mathbf{E}/c^2$.
Нейтральный провод с током в системе, движущейся вдоль него, оказывается заряженным, потому что расстояния между электронами и между ионами сокращаются по-разному. Так магнитная сила на движущийся заряд в одной системе становится электрической в другой.
$$\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F}, \qquad p = eEt\ \text{(в однородном поле из покоя)}$$
p
релятивистский импульс
F
сила, например $eE$ в электрическом поле
Сила меняет импульс, а не произведение массы на ускорение. В однородном электрическом поле импульс растёт линейно со временем, скорость приближается к $c$, но никогда её не достигает. Поперечный импульс в продольном поле сохраняется, поэтому поперечная скорость падает по мере роста энергии.
Магнитное поле не меняет энергию, поэтому $\gamma$ постоянно и частица идёт по окружности, как в нерелятивистском случае, только с импульсом $\gamma mv$. По радиусу трека и полю сразу получают импульс, а частота обращения падает с ростом энергии.
$$E = \gamma mc^2, \qquad E_0 = mc^2, \qquad K = E - mc^2$$
m
масса частицы
E0
энергия покоя
K
кинетическая энергия
Полная энергия включает энергию покоя. Энергия, отданная или полученная телом, меняет его массу на $\Delta E/c^2$, поэтому масса системы больше или меньше суммы масс частей на энергию связи, делённую на $c^2$. При $v \ll c$ кинетическая энергия равна $mv^2/2$.
$\displaystyle v = \frac{pc^2}{E}$$\displaystyle E = pc\ \text{(фотон, } m = 0\text{)}$
E
полная энергия
p
импульс
m
масса
Для частицы без массы, фотона, $E = pc$. Для ультрарелятивистской частицы $E \approx pc$, для медленной $E \approx mc^2 + p^2/2m$. В задачах на распады и столкновения эту связь пишут для каждой частицы вместе с сохранением энергии и импульса.
масса системы, энергия в системе центра масс, делённая на $c^2$
Ei, pi
энергии и импульсы частиц
Эта величина одинакова во всех системах и сохраняется при распадах и столкновениях. Её считают в той системе, где проще, например в лабораторной до реакции и в системе центра масс после. Отсюда порог рождения частиц, $Mc^2$ не меньше суммы энергий покоя продуктов.