Задача 12.1.15^∗

Решение

а) Поле внутри конденсатора равно $E$. Каждая из двух пластин конденсатора по отдельности создает поле $E_0 = E/2$. Пластины заряжены разноименно, поэтому излучаемые ими поля имеют противоположные знаки.
Пусть ближняя к наблюдателю пластина находится на расстоянии $x$, а дальняя — на расстоянии $x+d$. Согласно формуле из условия, суммарное излученное поле:
$$E_{\text{изл}} = \frac{1}{c} \left( v_{t - \frac{x+d}{c}} \frac{E}{2} - v_{t - \frac{x}{c}} \frac{E}{2} \right) = \frac{E}{2c} \left( v\left(t - \frac{x+d}{c}\right) - v\left(t - \frac{x}{c}\right) \right)$$
Так как конденсатор движется с постоянным ускорением $a$, то $v(t) = at$. Разность скоростей для моментов времени, отличающихся на $\Delta t = d/c$, равна $\Delta v = a \frac{d}{c}$.
Тогда модуль излученного поля:
$$E_{\text{изл}} = \frac{E}{2c} \left( a \frac{d}{c} \right) = \frac{a d E}{2 c^2}$$

б) Поверхностный ток $i = i_0 \sin(\omega t)$ создает вблизи пластины магнитное поле $B$.
В системе СИ: по теореме Ампера $B = \frac{\mu_0 i}{2}$. Излучаемое электрическое поле связано с магнитным как $E_{\text{изл}} = c B = \frac{c \mu_0 i_0}{2}$. Так как $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$, получаем амплитуду:
$$E_{\text{изл}} = \frac{i_0}{2 \varepsilon_0 c}$$
В системе СГС: магнитное поле тока $B = \frac{2\pi i}{c}$. Излучаемое электрическое поле $E_{\text{изл}} = B$, следовательно, амплитуда:
$$E_{\text{изл}} = \frac{2\pi i_0}{c}$$

в) Падающая волна $E_{\text{пад}} = E_0 \cos(2\pi\nu t)$ заставляет электроны пленки двигаться. Уравнение движения электрона: $m_e \dot{v} = e E_0 \cos(2\pi\nu t)$.
Скорость электронов: $v(t) = \frac{e E_0}{m_e \cdot 2\pi\nu} \sin(2\pi\nu t)$.
Плотность тока в пленке $j = n_e e v$, а поверхностная плотность тока (ток на единицу ширины) равна $K = j x$:
$$K(t) = \frac{n_e e^2 x E_0}{2\pi m_e \nu} \sin(2\pi\nu t)$$
Амплитуда поверхностного тока $K_0 = \frac{n_e e^2 x E_0}{2\pi m_e \nu}$.
Пленка работает как излучающая пластина из пункта (б). Амплитуда отраженной волны (в СИ):
$$E_{\text{отр}} = \frac{K_0}{2 \varepsilon_0 c} = \frac{n_e e^2 x E_0}{4\pi \varepsilon_0 c m_e \nu}$$
Коэффициент отражения $R$ — это отношение интенсивностей (квадратов амплитуд полей) отраженной и падающей волн:
$$R = \left( \frac{E_{\text{отр}}}{E_0} \right)^2 = \left( \frac{n_e e^2 x}{4 \pi \varepsilon_0 m_e c \nu} \right)^2$$