11. Электромагнитная индукцияФормулы Савченко, глава 11 из 14, 26 формул
Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.
электрическое поле в проводнике, уравновешивающее силу Лоренца
На носители в движущемся проводнике действует сила Лоренца $qvB$, она гонит их к одному концу, пока не возникнет поле $E = vB$, и разность потенциалов между концами равна $Blv$. Это же следует из закона Фарадея, так как площадь контура меняется со скоростью $lv$. Крыло самолёта, вращающийся диск, стержень на рельсах и проводник с током в поле дают одну и ту же ЭДС, а по знаку напряжения на гранях пластины с током находят знак носителей.
$\displaystyle v(t) = v_{\text{уст}}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{mR}{B^2l^2}$$\displaystyle P = I^2R = \frac{B^2l^2v^2}{R}\ \text{(вся работа торможения идёт в тепло)}$
l
длина перемычки на рельсах
R
сопротивление контура
$v_{\text{уст}}$
установившаяся скорость
$\tau$
время установления
Движение перемычки создаёт ток $Blv/R$, а на ток действует сила Ампера $IlB$, направленная против движения, пропорциональная скорости, как вязкое трение. Под тяжестью перемычка разгоняется до скорости, при которой $mg$ уравновешивается этой силой, и вся мощность тяжести уходит в тепло. Если вместо сопротивления в контуре конденсатор, ток пропорционален ускорению и перемычка движется равноускоренно с добавочной массой $CB^2l^2$.
$\displaystyle F v = \mathcal{E}_{\text{инд}} I\ \text{(механическая мощность равна электрической)}$$\displaystyle \omega_{\text{хх}} = \frac{U}{k}\ \text{(холостой ход, }I \to 0)$
U
напряжение, приложенное к двигателю
$\mathcal{E}_{\text{инд}}$
противоЭДС, ЭДС индукции в движущейся обмотке
k
постоянная машины, $\mathcal{E} = k\omega$ и $M = kI$
$P_{\text{мех}}$
механическая мощность на валу
Обмотка двигателя движется в поле, и в ней наводится противоЭДС, пропорциональная скорости, так что ток равен $(U - k\omega)/R$ и падает с разгоном. Мощность источника делится на тепло $I^2R$ и механическую $k\omega I = M\omega$, тот же коэффициент $k$ связывает момент с током. При холостом ходе $\omega \to U/k$, при заклинивании весь ток идёт в тепло. Генератор есть тот же прибор, вращаемый снаружи.
$\displaystyle \Phi = BS\cos\omega t, \qquad I = \frac{BS\omega}{R}\sin\omega t$$\displaystyle M = \frac{B^2S^2\omega}{R}\sin^2\omega t\ \text{(тормозящий момент)}$
S
площадь рамки
$\omega$
угловая скорость вращения
r
длина стержня, вращающегося вокруг конца
Поток сквозь рамку, вращающуюся в постоянном поле, меняется как $\cos\omega t$, и его производная даёт синусоидальную ЭДС с амплитудой $BS\omega$, так устроен генератор переменного тока. Стержень, вращающийся вокруг конца, за секунду заметает площадь $\omega r^2/2$, отсюда его ЭДС, то же для диска Фарадея. Ток в рамке создаёт тормозящий момент, и на его преодоление уходит механическая мощность, равная джоулевой.
Ток равен $-\frac{1}{R}\frac{d\Phi}{dt}$, и интеграл по времени даёт заряд, который зависит только от полного изменения потока, а не от того, как быстро оно произошло. На этом основан баллистический гальванометр, измеряющий поле по заряду при повороте или выдёргивании катушки. Средняя ЭДС за время $T$ равна $\Delta\Phi/T$.
$\displaystyle F_x = I\frac{\partial\Phi}{\partial x}\ \text{(сила на контур с током)}$
I
ток в контуре, постоянный
$\Delta\Phi$
изменение потока внешнего поля сквозь контур при перемещении
Работа сил Ампера при любом перемещении или повороте контура с постоянным током равна току на изменение пронизывающего его потока. Отсюда сила и момент на контур как производные потока, и контур тянется в сторону, где поток растёт. При этом источник, поддерживающий ток, совершает вдвое большую работу, половина идёт на изменение энергии поля.
$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}, \qquad \oint\vec E\cdot d\vec l = -\frac{d\Phi}{dt}$$
$\displaystyle \mathcal{E} = -N\frac{d\Phi}{dt}\ \text{(катушка из }N\text{ витков)}$$\displaystyle \mathcal{E} = -S\frac{dB}{dt}\ \text{(неподвижный контур в меняющемся поле)}$
$\mathcal{E}$
ЭДС индукции в контуре
$\Phi$
магнитный поток сквозь контур
$\oint\vec E\cdot d\vec l$
циркуляция электрического поля по контуру
Любое изменение потока сквозь контур, от движения контура, изменения поля или поворота, наводит в нём ЭДС, равную скорости изменения потока, а знак минус есть правило Ленца, индукционный ток противится изменению. В неподвижном контуре ЭДС создаётся вихревым электрическим полем, циркуляция которого отлична от нуля, и это поле есть независимо от того, положен ли туда проводник.
$$E\cdot 2\pi r = -\frac{d\Phi}{dt}, \qquad E = \frac{r}{2}\frac{dB}{dt}\ (r < R), \qquad E = \frac{R^2}{2r}\frac{dB}{dt}\ (r > R)$$
$\displaystyle m\frac{dv}{dt} = eE = \frac{er}{2}\frac{dB}{dt}\ \text{(разгон электрона на орбите)}$$\displaystyle M = qEr = \frac{q}{2\pi}\frac{d\Phi}{dt}\ \text{(момент на заряженное кольцо)}$
r
радиус окружности, по которой считают циркуляцию
R
радиус области, где меняется поле, соленоида
$dB/dt$
скорость изменения поля
Меняющееся магнитное поле создаёт замкнутые линии электрического поля, и по симметрии внутри соленоида они окружности, а величину поля даёт закон Фарадея для окружности радиуса $r$. Внутри области поле растёт линейно с $r$, снаружи убывает как $1/r$, как у прямого тока. Это поле разгоняет заряды по окружности, на нём работает бетатрон, и оно раскручивает заряженное кольцо, когда поле включают.
$$m_{\text{эм}} = \frac{U}{c^2}, \qquad U = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$$
U
энергия поля заряженного тела или конденсатора
c
скорость света
R
радиус заряженной сферы
Движущийся заряженный конденсатор несёт вместе с электрическим и магнитное поле, и импульс поля $\varepsilon_0\int[\vec E\times\vec B]\,dV$ оказывается равным $Uv/c^2$, то есть поле ведёт себя как масса $U/c^2$. Это частный случай $E = mc^2$, и для сферы с зарядом $e$ он даёт классический радиус электрона, если всю массу приписать полю.
В бетатроне электрон разгоняется вихревым полем $E = \frac{1}{2\pi R}\,d\Phi/dt$ и удерживается на окружности силой Лоренца, для чего $mv = eRB(R)$. Импульс растёт как $e\Phi/2\pi R$, а условие удержания требует $mv = eRB(R)$, и орбита не меняется, только если поле на ней равно половине среднего поля внутри неё. Так поле $B_0(1 - r/r_0)$ держит электрон на радиусе $3r_0/4$.
$\displaystyle L\frac{dI}{dt} = U\ \text{(катушка на источнике, }I = \frac{Ut}{L})$$\displaystyle L\frac{dI}{dt} + IR = \mathcal{E}\ \text{(цепь с индуктивностью и сопротивлением)}$
L
индуктивность
I
ток в контуре
$\mathcal{E}_L$
ЭДС самоиндукции, противится изменению тока
Поток собственного поля контура пропорционален току, $\Phi = LI$, и по закону Фарадея изменение тока наводит ЭДС $-L\,dI/dt$. Катушка, подключённая к источнику, набирает ток линейно, $I = \mathcal{E}t/L$, а на переменном напряжении её ток отстаёт на четверть периода. В уравнении цепи индуктивность стоит как $L\,dI/dt$ рядом с $IR$ и $q/C$.
$$L = \mu\mu_0 n^2 S l = \frac{\mu\mu_0 N^2 S}{l}, \qquad \frac{L}{l} = \frac{\mu\mu_0}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}$$
$\displaystyle L' = \frac{\mu_0 h}{d}\ \text{(на единицу длины плоской линии, зазор }d\text{, ширина }h)$$\displaystyle L' = \frac{\mu_0}{\pi}\ln\frac{h}{r}\ \text{(двухпроводная линия)}$
n
число витков на единицу длины
N
полное число витков
S, l
сечение и длина соленоида
r1, r2
радиусы жилы и оболочки кабеля
$\mu$
проницаемость сердечника или заполнения
Индуктивность считают как поток на единицу тока, у соленоида поле $\mu_0 nI$ пронизывает $N$ витков, у кабеля поток набирают полосками между жилой и оболочкой, где $B = \mu_0 I/2\pi r$. Равносильно считать энергию поля $\int B^2/2\mu_0\,dV$ и приравнять её $LI^2/2$, так удобно для линий, у которых поток не очевиден. Сердечник с проницаемостью $\mu$ увеличивает индуктивность в $\mu$ раз, а $n$ раз больше витков на той же длине дают в $n^2$ раз.
$\displaystyle F_x = \frac{I^2}{2}\frac{dL}{dx}\ \text{(сила при постоянном токе)}$$\displaystyle Q = \frac{LI^2}{2}\ \text{(тепло после размыкания цепи)}$
L
индуктивность
I
ток
$\Phi$
поток сквозь катушку
B
поле внутри, $\mu_0 nI$ у соленоида
Чтобы довести ток до $I$, источник работает против ЭДС самоиндукции, и эта работа $LI^2/2$ запасается в магнитном поле с плотностью $B^2/2\mu_0$, у соленоида обе записи совпадают. При размыкании цепи вся она уходит в тепло или искру, в контуре с конденсатором перекачивается в $CU^2/2$. Сила на сердечник или подвижную часть при постоянном токе равна $\frac{I^2}{2}\,dL/dx$ и тянет туда, где индуктивность больше.
$$\Phi_2 = M I_1, \qquad \mathcal{E}_2 = -M\frac{dI_1}{dt}, \qquad M = \mu\mu_0 n_1 n_2 S l$$
$\displaystyle L = L_1 + L_2 \pm 2M\ \text{(две катушки последовательно, согласно или встречно)}$$\displaystyle M = \frac{\mu_0\pi r^2 R^2}{2 d^3}\ \text{(малый виток на оси большого, далеко)}$
M
взаимная индуктивность, одинаковая в обе стороны
I1
ток в первом контуре
$\Phi_2$
поток первого контура сквозь второй
n1, n2
числа витков на единицу длины двух обмоток на одном сердечнике
Поток, который ток одного контура создаёт сквозь другой, пропорционален току, и коэффициент симметричен, поэтому его удобно считать в ту сторону, где поле проще, поле длинной катушки сквозь короткую или поле большого витка в центре малого. Изменение тока в первом контуре наводит во втором ЭДС $-M\,dI_1/dt$. У двух катушек, соединённых последовательно, к сумме индуктивностей добавляется или вычитается $2M$.
Обе обмотки на общем сердечнике пронизаны одним потоком, поэтому ЭДС витка одинакова и напряжения относятся как числа витков. Полный ток намагничивания сердечника мал, откуда $N_1I_1 + N_2I_2 \approx 0$, токи обратно пропорциональны виткам и мощность передаётся без потерь. Нагрузка $R$ на вторичной обмотке выглядит с первичной как $R(N_1/N_2)^2$.
Заряд конденсатора и ток в катушке меняются как в пружинном маятнике, роль массы играет $L$, жёсткости $1/C$, и частота равна $1/\sqrt{LC}$. Ток и заряд сдвинуты на четверть периода, амплитуда тока равна $\omega_0 q_0$. Подключённый к постоянному источнику контур колеблется около нового равновесия $q = C\mathcal{E}$ с той же частотой, и наибольший заряд вдвое больше равновесного. Две параллельные катушки заменяют одной с $L_1L_2/(L_1+L_2)$.
При синусоидальном токе напряжение на катушке опережает ток на четверть периода с амплитудой $I_0\omega L$, на конденсаторе отстаёт с амплитудой $I_0/\omega C$, на резисторе совпадает по фазе. Складывать их надо как векторы, отсюда импеданс и сдвиг фаз, а с комплексными амплитудами вся цепь считается по правилам постоянного тока с $Z_L = i\omega L$ и $Z_C = 1/i\omega C$. При $\omega L = 1/\omega C$ реактивные напряжения гасят друг друга, это резонанс.
$\displaystyle Q = \frac{L_1I_1^2}{2} - \frac{(L_1 + L_2)I'^2}{2}\ \text{(тепло в искре при переключении)}$
L1, L2
индуктивности катушек
I1, I2
их токи до переключения
$I'$
общий ток сразу после соединения
При мгновенном переключении ЭДС самоиндукции бесконечно велики и ток через сопротивления и ёмкости не успевает пройти, поэтому сохраняется полное потокосцепление контура, $\sum L_kI_k$, как импульс при неупругом ударе. Токи после переключения находят из этого условия, а потерянная энергия уходит в искру. У двух параллельных катушек разность $L_1I_1 - L_2I_2$ не меняется всё время, потому что напряжения на них равны.
Установившийся ток в контуре с внешней ЭДС есть вынужденное колебание на частоте ЭДС с амплитудой, растущей при приближении к собственной частоте, что и есть резонанс, ограниченный только сопротивлением. Общее решение есть сумма вынужденного и собственного колебаний, и по начальным условиям при $\omega \approx \omega_0$ получаются биения, за которые амплитуда линейно растёт. Цепочка LC звеньев передаёт колебания как линия с фазовой скоростью $l/\sqrt{LC}$.
$$L\frac{di}{dt} + iR = U, \qquad i = \frac{U}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R}$$
$\displaystyle i = i_0 e^{-Rt/L}\ \text{(ток после отключения источника через сопротивление)}$$\displaystyle u_L = U e^{-t/\tau}\ \text{(напряжение на катушке при включении)}$
L
индуктивность
R
сопротивление цепи
U
напряжение источника
$\tau$
постоянная времени $L/R$
Индуктивность не даёт току измениться скачком, при включении ток подходит к $U/R$ по экспоненте с постоянной времени $L/R$, а при замыкании катушки на сопротивление спадает по той же экспоненте, отдавая энергию $LI^2/2$ в тепло. За время $\tau$ величины меняются в $e$ раз. Напряжение на катушке в первый момент равно всему напряжению источника.
Сопротивление входит в уравнение контура как трение в маятник, амплитуда убывает по экспоненте с показателем $R/2L$, а частота чуть ниже собственной. Отношение соседних амплитуд равно $e^{\gamma T}$, добротность показывает, за сколько периодов колебания затухают в $e^\pi$ раз. При $R \ge 2\sqrt{L/C}$ колебаний нет, заряд спадает монотонно.
эффективное значение, даёт ту же мощность, что постоянный ток
Мгновенная мощность $iu$ колеблется, а её среднее за период равно половине произведения амплитуд на косинус сдвига фаз, потому что среднее от $\sin^2$ равно половине. Тепло выделяется только на активном сопротивлении, $\langle P\rangle = I_0^2R/2$, катушка и конденсатор в среднем мощности не потребляют. Эффективные значения $I_0/\sqrt2$ и $U_0/\sqrt2$ позволяют писать формулы как для постоянного тока.
$\displaystyle U_{\max} = I_{\max}\sqrt{\frac{L}{C}}\ \text{(волновое сопротивление контура)}$$\displaystyle Q = \frac{q_0^2}{2C} - \frac{LI^2}{2}\ \text{(тепло, если в контуре есть сопротивление)}$
q0
наибольший заряд конденсатора
$I_{\max}$
наибольший ток
U0
напряжение на конденсаторе в момент, когда ток равен нулю
В контуре без сопротивления энергия перекачивается между конденсатором и катушкой, и её сумма постоянна. В момент, когда ток наибольший, конденсатор разряжен, поэтому амплитуды связаны $LI_{\max}^2 = CU_0^2$. Если есть сопротивление, разность энергий двух состояний есть выделившееся тепло, а если цепь перестраивают переключением, часть энергии теряется в искре, и её находят по сохранению потока или заряда.
В контуре без сопротивления ЭДС индукции не может быть уравновешена падением напряжения, поэтому $d\Phi/dt = 0$ и поток сквозь него не меняется никогда, любое внешнее изменение компенсируется током. Отсюда ток при включении поля, ток при сжатии кольца и при вставке сердечника, а также усиление поля внутри сжимаемого кольца как $r_0^2/r^2$. Кольцо в неоднородном поле колеблется около положения, где поток равен начальному, с добавочной жёсткостью $B^2S^2/L$.
$\displaystyle F = \frac{\mu_0 I^2 l}{4\pi h}\ \text{(провод над сверхпроводящей плоскостью, изображение тока)}$$\displaystyle \frac{B^2}{2\mu_0} = \rho g h\ \text{(сверхпроводящая жидкость поднята полем)}$
B
поле у поверхности, касательное к ней
p
давление поля на сверхпроводник, наружу от поля
S, l
сечение и длина области, из которой поле вытеснено
Сверхпроводник не пускает поле внутрь, у его поверхности нормальная составляющая $B$ равна нулю, а касательная поддерживается поверхностным током $i = B/\mu_0$. Поле давит на поверхность с силой $B^2/2\mu_0$ на единицу площади, отсюда левитация магнита и провода над сверхпроводником, где поле считают методом изображений с обратным током. Чтобы втолкнуть в поле сверхпроводящее тело, нужна работа, равная энергии вытесненного поля $B^2/2\mu_0$ на объём.
$\displaystyle B = \frac{\mu_0\varepsilon_0 r}{2}\frac{dE}{dt}\ \text{(внутри заряжаемого плоского конденсатора)}$$\displaystyle B\cdot2\pi r = \mu_0 I\frac{r^2}{r_0^2}\ \text{(ток смещения между обкладками равен току в проводе)}$
$\Phi_E$
поток электрического поля сквозь контур
$I_{\text{см}}$
ток смещения, $\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$, в среде $d\Phi_D/dt$
I
ток проводимости сквозь контур
Между обкладками заряжаемого конденсатора тока проводимости нет, но ток в проводе непрерывно продолжается током смещения $\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$, и Максвелл добавил его в теорему о циркуляции. Поэтому меняющееся электрическое поле создаёт магнитное так же, как ток, внутри конденсатора $B = \frac{\mu_0\varepsilon_0 r}{2}\,dE/dt$, и в диэлектрике ток смещения растёт в $\varepsilon$ раз. Движущийся заряженный конденсатор несёт поле $\mu_0\varepsilon_0 vE$, как и следовало из поля движущихся зарядов.