9. Постоянное магнитное полеФормулы Савченко, глава 9 из 14, 18 формул
Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.
$$\vec F = q\,[\vec v\times\vec B], \qquad F = qvB\sin\alpha$$
$\displaystyle \vec F = q\vec E + q[\vec v\times\vec B]\ \text{(полная сила на заряд)}$$\displaystyle v = \frac{E}{B}\ \text{(скорость, при которой силы компенсируются)}$
q
заряд частицы
$\vec v$
её скорость
$\vec B$
индукция магнитного поля
$\alpha$
угол между $\vec v$ и $\vec B$
Магнитная сила перпендикулярна и скорости, и полю, поэтому она не совершает работы и меняет только направление движения. Её направление даёт правило левой руки или векторное произведение, для отрицательного заряда оно обратное. Вместе с электрической силой это полная сила на заряд, и в скрещённых полях частица летит прямо при $v = E/B$.
$$d\vec F = I\,[d\vec l\times\vec B], \qquad F = IlB\sin\alpha$$
$\displaystyle F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\,l\ \text{(два параллельных провода)}$$\displaystyle F = 2BIR\ \text{(полукольцо, как хорда)}$
I
ток в проводнике
$d\vec l$
элемент проводника по направлению тока
$\vec B$
индукция поля
$\alpha$
угол между проводником и полем
Сила Лоренца на все носители в элементе проводника складывается в силу Ампера, перпендикулярную проводнику и полю. Сила на изогнутый проводник в однородном поле равна силе на хорду, соединяющую его концы, а на замкнутый контур в однородном поле равна нулю. Параллельные токи притягиваются с силой на единицу длины $\mu_0I_1I_2/2\pi d$, встречные отталкиваются.
$$\vec p_m = I\vec S, \qquad \vec N = [\vec p_m\times\vec B], \qquad N = ISB\sin\alpha$$
$\displaystyle U = -\vec p_m\cdot\vec B\ \text{(энергия контура в поле)}$$\displaystyle p_m = \frac{evr}{2}\ \text{(электрон на орбите)}$
$\vec p_m$
магнитный момент, ток на площадь, по нормали к контуру
$\vec N$
момент сил на контур
$\alpha$
угол между нормалью и полем
Однородное поле не тянет замкнутый контур, а поворачивает его, стремясь поставить нормаль вдоль поля, и момент сил равен $ISB\sin\alpha$ при любой форме контура. Катушку из $n$ витков считают как один с током $nI$. В равновесии магнитный момент уравновешивает момент силы тяжести, а при отклонении контур колеблется с частотой $\sqrt{p_mB/J}$. Момент неоднородного поля тянет контур в область сильного поля.
$\displaystyle T = BIR\ \text{(натяжение кольца с током в поле)}$$\displaystyle a = \frac{IlB - \mu mg}{m}\ \text{(стержень на рельсах)}$
I
ток
l
длина проводника в поле
T
натяжение подвеса
$\alpha$
угол отклонения от вертикали
Проводник на подвесе отклоняется, пока горизонтальная сила Ампера не уравновесится составляющей натяжения, и тангенс угла равен отношению $IlB$ к весу. Для кольца с током в поле сила Ампера на дугу уравновешивается натяжением $BIR$ на концах дуги. Стержень на рельсах в поле разгоняется силой $IlB$ за вычетом трения, а рамка на оси поворачивается моментом $ISB$ против момента тяжести.
$\displaystyle B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}\ \text{(внутри провода радиуса }R)$$\displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\tan\frac{\beta}{2}\ \text{(на оси конуса токов из вершины)}$
I
ток в проводе
r
расстояние до оси провода
Линии поля прямого тока суть окружности вокруг провода по правилу буравчика, и поле убывает как $1/r$, что следует из теоремы о циркуляции для окружности радиуса $r$. Внутри толстого провода с равномерным током охвачена лишь часть тока и поле растёт линейно. Поля нескольких проводов складываются векторно, для антипараллельных проводов между ними поля складываются, снаружи вычитаются.
$$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,[d\vec l\times\vec r]}{r^3}, \qquad dB = \frac{\mu_0 I\,dl\sin\alpha}{4\pi r^2}$$
$\displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)\ \text{(отрезок провода)}$$\displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{4R}\ \text{(в центре полуокружности)}, \qquad B = \frac{\mu_0 I\varphi}{4\pi R}\ \text{(дуга)}$
I
ток
$d\vec l$
элемент проводника по току
$\vec r$
радиус-вектор от элемента в точку наблюдения
$\alpha$
угол между $d\vec l$ и $\vec r$
Каждый элемент тока даёт вклад, убывающий как $1/r^2$ и пропорциональный синусу угла между элементом и направлением на точку, и поле всего проводника есть интеграл этих вкладов. Элементы, направленные на точку, поля в ней не создают, поэтому прямые провода, проходящие через центр дуги, в него не вносят ничего. Поле составного контура складывают из полей дуг и отрезков.
$$\vec M = n\vec p_m, \qquad i = M\ \text{(поверхностный ток на единицу длины)}, \qquad \vec B = \mu\mu_0\vec H, \quad \mu = 1 + \chi$$
$\displaystyle \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M), \qquad \oint\vec H\cdot d\vec l = I_{\text{пров}}$$\displaystyle B = \mu_0 M\ \text{(внутри длинного намагниченного стержня)}$
$\vec M$
намагниченность, магнитный момент единицы объёма
i
эквивалентный поверхностный ток на единицу длины
$\chi$
магнитная восприимчивость
$\mu$
магнитная проницаемость
Однородно намагниченное тело эквивалентно поверхностному току $i = M$, текущему по его боковой поверхности, поэтому длинный стержень с намагниченностью $M$ действует как соленоид с $nI = M$, а шар как система витков с током $M\sin\theta$. В слабых полях намагниченность пропорциональна полю, $M = \chi H$, и поле в веществе больше внешнего в $\mu$ раз. Циркуляция $\vec H$ определяется только токами проводимости.
$$\vec B = \varepsilon_0\mu_0[\vec v\times\vec E] = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q[\vec v\times\vec r]}{r^3}$$
$\displaystyle B = \frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac{\rho v}{r}\ \text{(заряженная нить, движущаяся вдоль себя)}$$\displaystyle B = \frac{\mu_0\sigma v}{2}\ \text{(движущаяся заряженная плоскость)}$
q
заряд
$\vec v$
его скорость, много меньше $c$
$\vec E$
электрическое поле того же заряда в этой точке
$\vec r$
радиус-вектор от заряда в точку наблюдения
Медленно движущийся заряд создаёт магнитное поле, которое получается из его электрического поля векторным умножением на $\vec v/c^2$. Поэтому поле движущегося заряженного тела любой формы можно взять из электростатики, у нити выходит поле прямого тока, у плоскости поле плоского тока. Отношение магнитной силы к электрической порядка $v^2/c^2$, отсюда магнетизм есть релятивистская поправка.
$\displaystyle B \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2h^3} = \frac{\mu_0 p_m}{2\pi h^3}\ \text{(далеко на оси, }h \gg R)$$\displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{4R}\ \text{(центр полуокружности)}$
I
ток в витке
R
радиус витка
h
расстояние от центра вдоль оси
На оси витка поперечные вклады элементов гасятся, а продольные складываются с множителем $R/\sqrt{R^2+h^2}$, откуда формула. В центре поле $\mu_0I/2R$, дуга даёт ту же формулу, умноженную на долю окружности. Далеко на оси поле убывает как $1/h^3$ и определяется магнитным моментом $I\pi R^2$, как поле диполя.
$\displaystyle F = p_m\frac{\partial B}{\partial x}\ \text{(сила на диполь в неоднородном поле)}$$\displaystyle F = \frac{3\mu_0 p_1p_2}{2\pi r^4}\ \text{(два диполя на одной оси)}$
$\vec p_m$
магнитный момент, $IS$ для витка
$\vec r$
радиус-вектор от диполя в точку
$B_\parallel, B_\perp$
поле на оси диполя и в его экваториальной плоскости
Вдали от любого замкнутого тока поле такое же, как у электрического диполя, с заменой $p/\varepsilon_0$ на $\mu_0 p_m$, на оси вдвое больше, чем на перпендикуляре при том же расстоянии, и всюду убывает как $1/r^3$. Так же выглядит поле намагниченного шарика или короткого магнита. Сила между диполями получается из производной поля и убывает как $1/r^4$.
$$B = \frac{\mu_0 i}{2}, \qquad B = \mu_0 j x\ \text{(внутри слоя)}, \qquad B = \frac{\mu_0 j d}{2}\ \text{(снаружи слоя)}$$
$\displaystyle i = \sigma v\ \text{(движущаяся заряженная плоскость)}$$\displaystyle B_{1\tau} - B_{2\tau} = \mu_0 i\ \text{(скачок поля на слое тока)}$
i
линейная плотность поверхностного тока, ток на единицу ширины
j
объёмная плотность тока в слое
x
расстояние от средней плоскости слоя
d
толщина слоя
Бесконечная плоскость с током даёт с обеих сторон однородное поле $\mu_0 i/2$, параллельное плоскости и перпендикулярное току, что следует из циркуляции по прямоугольнику поперёк плоскости. Внутри слоя с объёмным током поле растёт линейно от середины. На слое тока касательная составляющая $B$ меняется скачком на $\mu_0 i$, а нормальная непрерывна, отсюда преломление линий поля. Два слоя с встречными токами дают поле только между ними, как у плоского конденсатора.
$$\oint \vec B\cdot d\vec l = \mu_0 I_{\text{охв}}$$
$\oint\vec B\cdot d\vec l$
циркуляция индукции по замкнутому контуру
$I_{\text{охв}}$
полный ток сквозь контур, со знаками по направлению обхода
Циркуляция магнитного поля по любому замкнутому контуру равна $\mu_0$ на ток, пронизывающий контур, независимо от токов снаружи. Для симметричных токов выбирают контур, на котором $B$ постоянно вдоль линии, окружность вокруг провода, прямоугольник поперёк плоскости или соленоида, и поле выходит в одну строку. Как теорема Гаусса для $E$, это самый короткий путь к полю провода, соленоида, тороида и плоскости.
$$B = \mu_0 n I, \qquad B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}\ \text{(тороид)}$$
$\displaystyle B = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)\ \text{(на оси конечного соленоида)}$$\displaystyle B = \frac{\mu_0 nI}{2}\ \text{(на торце длинного соленоида)}$
n
число витков на единицу длины
I
ток в обмотке
N
полное число витков тороида
r
расстояние от оси тороида
Длинный соленоид есть свёрнутая плоскость тока с $i = nI$, поле внутри однородно и равно $\mu_0 nI$, снаружи нуль, что даёт циркуляция по прямоугольнику, одна сторона которого внутри. На торце поле вдвое меньше, потому что половина соленоида отсутствует, а на оси конечного соленоида поле выражается через углы, под которыми видны его концы. Тороид держит поле внутри себя, и оно убывает как $1/r$. Обмотка соленоида растягивается наружу давлением $B^2/2\mu_0$.
$$p = w = \frac{B^2}{2\mu_0}, \qquad w = \frac{B^2}{2\mu\mu_0}$$
$\displaystyle F = \frac{B^2}{2\mu_0}S\ \text{(сила на стенку соленоида, на торец сердечника)}$$\displaystyle w = \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0}\ \text{(полная плотность энергии поля)}$
w
плотность энергии магнитного поля
p
давление поля на проводник с током, изнутри наружу
$\mu$
проницаемость среды
Как и для электрического поля, энергия сидит в поле с плотностью $B^2/2\mu_0$, и там, где поле есть с одной стороны поверхности тока и отсутствует с другой, эта же величина равна давлению на поверхность. Так растягивает себя соленоид, отталкиваются пластины с встречными токами, а токи в одну сторону притягиваются, поле между ними ослаблено. Сила на сердечник равна разности давлений на его торцах.
телесный угол, под которым поверхность тока видна из точки
$B_\parallel$
составляющая поля вдоль тока... точнее, вдоль нормали к линиям тока в плоскости поверхности
Поле поверхностного тока получается из поля заряженной поверхности умножением на $v/c^2$, а нормальное поле заряженной поверхности равно $\sigma\Omega/4\pi\varepsilon_0$, поэтому поле тока $i = \sigma v$ выражается через тот же телесный угол. Для бесконечной плоскости $\Omega = 2\pi$ и получается $\mu_0 i/2$, для торца длинного соленоида тоже $2\pi$, для замкнутой поверхности вокруг точки $4\pi$ и $B = \mu_0 i$. Часть поверхности считают вычитанием, как поле полости.
$$\Phi = \int \vec B\cdot d\vec S = BS\cos\alpha$$
$\displaystyle \Phi = \frac{\mu_0 I l}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}\ \text{(рамка у прямого провода)}$$\displaystyle \Phi = BS\cos\omega t\ \text{(вращающаяся рамка)}$
$\Phi$
магнитный поток через поверхность
S
площадь поверхности, натянутой на контур
$\alpha$
угол между $\vec B$ и нормалью к поверхности
Поток есть число линий поля сквозь поверхность, в однородном поле произведение индукции на проекцию площади. В неоднородном поле его набирают интегралом, у прямого провода полосками $B(r)\,l\,dr$. Для контура из $N$ витков потоки витков складываются. Через замкнутую поверхность поток всегда нуль, поэтому все поверхности, натянутые на один контур, дают один поток.
$$L = \frac{\Phi}{I}, \qquad L = \mu_0 n^2 S l\ \text{(соленоид)}$$
L
индуктивность контура
$\Phi$
поток собственного поля сквозь контур, для катушки через все витки
n
число витков на единицу длины
Поток собственного поля контура пропорционален току, и коэффициент зависит только от геометрии и среды. У соленоида поле $\mu_0 nI$ пронизывает $nl$ витков площадью $S$, откуда $\mu_0 n^2 Sl$. Взаимная индуктивность двух контуров определяется так же через поток одного контура сквозь другой и одинакова в обе стороны, для маленького витка на оси большого её считают через поле большого витка в центре малого.
$$\oint \vec B\cdot d\vec S = 0, \qquad \operatorname{div}\vec B = 0$$
$\displaystyle B_r = -\frac{r}{2}\frac{\partial B_z}{\partial z}\ \text{(радиальное поле у оси)}$$\displaystyle B_1S_1 = B_2S_2\ \text{(трубка линий поля)}$
$\oint\vec B\cdot d\vec S$
поток через замкнутую поверхность
Br
радиальная составляющая поля вблизи оси симметрии
Магнитных зарядов нет, линии поля замкнуты, и поток сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю. Отсюда поток вдоль трубки линий постоянен, поле обратно пропорционально сечению трубки, а нормальная составляющая $B$ на любой границе непрерывна. Для поля с осевой симметрией поток через цилиндр вокруг оси даёт радиальную составляющую $-\frac{r}{2}\,\partial B_z/\partial z$ там, где продольное поле меняется, точно как для электрического поля у оси линзы.