12. Электромагнитные волныФормулы Савченко, глава 12 из 14, 10 формул
Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.
$$E = E_0\sin(\omega t - kz), \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c}, \qquad \lambda\nu = c$$
$\displaystyle \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}\ \text{(волновое уравнение)}$$\displaystyle E = 2E_0\sin kx\,\sin\omega t\ \text{(стоячая волна у зеркала)}$
E0
амплитуда поля
$\omega, k$
циклическая частота и волновое число
$\lambda$
длина волны
c
скорость света
Фаза $\omega t - kz$ постоянна на плоскости, бегущей со скоростью $\omega/k = c$, поэтому длина волны и частота связаны $\lambda\nu = c$, а разность фаз между двумя точками на луче равна $2\pi d/\lambda$. Из уравнений Максвелла без зарядов следует волновое уравнение, и любая функция от $t - z/c$ ему удовлетворяет. Две волны одной частоты складываются как векторы по фазе, встречные равные волны дают стоячую волну с узлами через полдлины волны.
$$E = cB, \qquad c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, \qquad v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} = \frac{c}{n}$$
$\displaystyle \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} = \frac{B^2}{2\mu_0}\ \text{(энергия поровну между полями)}$$\displaystyle n = \sqrt{\varepsilon\mu}\ \text{(показатель преломления)}$
E, B
амплитуды электрического и магнитного полей волны
$\varepsilon_0, \mu_0$
электрическая и магнитная постоянные
$\varepsilon, \mu$
проницаемости среды
Применив закон Фарадея к контуру, который фронт волны пересекает со скоростью $c$, получают $E = cB$, а теорема о циркуляции с током смещения даёт $B = \varepsilon_0\mu_0 cE$, откуда $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$. Поля перпендикулярны друг другу и направлению распространения и несут поровну энергии. В среде скорость меньше в $\sqrt{\varepsilon\mu}$ раз, это и есть показатель преломления.
$\displaystyle i = \frac{2E}{\mu_0 c}\ \text{(ток в зеркале, гасящий волну за ним)}$$\displaystyle R = \left(\frac{n_e e^2 x}{4\pi\varepsilon_0 m_e c\nu}\right)^2\ \text{(отражение тонкой плёнки плазмы)}$
i
поверхностная плотность тока в излучающей плоскости
$\sigma, v$
плотность заряда плоскости и её скорость
E
поле неподвижной заряженной плоскости, $\sigma/2\varepsilon_0$
x
расстояние от плоскости
Плоскость с меняющимся током создаёт по обе стороны волну с магнитным полем $\mu_0 i/2$ и электрическим $cB$, и она доходит до точки $x$ с запаздыванием $x/c$. Для заряженной плоскости, которую дёрнули, излучённое поле равно полю покоящейся плоскости на $v/c$, оно направлено против скорости и убывает с расстоянием только запаздыванием. Идеальное зеркало создаёт ток $2E/\mu_0 c$, чья волна гасит падающую позади, а тонкая плазменная плёнка отражает долю, растущую с концентрацией электронов и падающую с частотой.
$$\vec S = \frac{[\vec E\times\vec B]}{\mu_0}, \qquad I = \langle S\rangle = \frac{\varepsilon_0 c E_0^2}{2}, \qquad w = \varepsilon_0 E^2$$
$\displaystyle E \propto \frac{1}{r}, \qquad I \propto \frac{1}{r^2}\ \text{(сферическая волна)}$$\displaystyle E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_0 c}}$
$\vec S$
вектор Пойнтинга, поток энергии через единицу площади в секунду
I
интенсивность, средний поток энергии
w
плотность энергии волны, $\varepsilon_0E^2/2 + B^2/2\mu_0$
Плотность энергии волны равна $\varepsilon_0E^2$, половина в электрическом поле и половина в магнитном, и она переносится со скоростью $c$, отсюда поток $\varepsilon_0cE^2$ и среднее $\varepsilon_0cE_0^2/2$. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому у сферической волны амплитуда убывает как $1/r$, а мощность через любую сферу одна и та же. По мощности источника находят поле на заданном расстоянии.
$\displaystyle F = \frac{P}{c}\ \text{(сила на чёрную пластинку, поглощающую мощность }P)$$\displaystyle p = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\,\frac{c + v}{c - v}\ \text{(зеркало, летящее навстречу)}$
I
интенсивность волны
$\rho$
коэффициент отражения
$\theta$
угол падения
E0
амплитуда падающей волны
Волна несёт импульс $w/c$ на единицу объёма, и поглощающая стенка получает давление $I/c$, зеркало вдвое больше, так как отражённая волна уносит импульс назад. При наклонном падении добавляется $\cos^2\theta$, один косинус от проекции импульса, другой от площади. То же давление получается как сила Лоренца на токи, наведённые в зеркале, $\varepsilon_0E^2$ для стоячей волны у зеркала. Движущееся навстречу зеркало испытывает большее давление из-за доплеровского роста частоты.
$\displaystyle d = (2k + 1)\frac{\lambda}{4}\ \text{(узел у одного зеркала, пучность у другого)}$$\displaystyle \Delta = 2d = k\lambda\ \text{(интерференция при отражении от двух плоскостей)}$
d
расстояние между зеркалами или толщина слоя
$\lambda$
длина волны
k
целое число
Между двумя проводящими плоскостями поле на каждой из них обращается в нуль, поэтому укладывается целое число полуволн, и резонансные частоты идут через $c/2d$. У одной отражающей плоскости и открытого конца узел на одном краю, пучность на другом, и укладывается нечётное число четвертей волны. Тот же счёт полуволн даёт условия усиления и гашения волн, отражённых от двух параллельных плоскостей, и настройку антенн.
Частота света зависит только от относительной скорости источника и приёмника, а точная формула получается из преобразования Лоренца для фазы волны или из преобразования полей, поле в движущейся системе больше в $\sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}$ раз. При малых скоростях сдвиг частоты равен $\nu_0 v/c$, при отражении от движущегося зеркала удваивается, так работает радар и измеряют скорости звёзд по смещению линий.
Каждая точка фронта есть источник вторичных волн, и за время $\tau$ фронт в первой среде уходит на $v_1\tau$, во второй на $v_2\tau$, отсюда закон отражения и синусы углов, относящиеся как скорости. Частота при переходе в среду не меняется, а длина волны сокращается в $n$ раз. Если источник движется быстрее волн, огибающая вторичных волн образует конус с $\cos\theta = v_{\text{волн}}/v$, черенковское излучение или ударная волна.
$\displaystyle l \approx \frac{r\lambda}{D}\ \text{(размер пятна на расстоянии }r)$$\displaystyle I_{\text{расс}} \propto \frac{1}{\lambda^4}\ \text{(рассеяние Рэлея на мелких частицах)}$
b
ширина щели
D
размер отверстия, антенны, зеркала
$\theta$
угол расхождения пучка
d
период решётки или расстояние между источниками
Волна, прошедшая через отверстие шириной $b$, расходится на угол порядка $\lambda/b$, потому что вторичные волны от краёв щели гасятся, когда разность их хода равна длине волны. Поэтому антенна или зеркало размером $D$ не могут дать пучок уже $\lambda/D$ и не разрешают детали ближе этого угла, а пятно на расстоянии $r$ имеет размер $r\lambda/D$. Два источника или решётка усиливают волну в направлениях, где разность хода кратна $\lambda$. Мелкие частицы рассеивают короткие волны сильнее, как $1/\lambda^4$.
$\displaystyle r_1 = \sqrt{\lambda L}\ \text{(первая зона на расстоянии }L\text{ от точки)}$$\displaystyle l_m = \frac{r^2}{(2m - 1)\lambda}\ \text{(расстояния, на которых отверстие радиуса }r\text{ открывает }m\text{ зон)}$
a
расстояние от источника до отверстия
b
расстояние от отверстия до точки наблюдения
rm
радиус $m$-й зоны
Am
амплитуда от $m$-й зоны, все почти равны
Фронт волны делят на кольца, из которых соседние доходят до точки со сдвигом фазы на $\pi$, их вклады чередуются по знаку и почти равны по величине, так что вся открытая волна даёт половину вклада первой зоны. Площади зон одинаковы, $\pi\lambda ab/(a+b)$. Отверстие, открывающее нечётное число зон, даёт в центре максимум, чётное минимум, а перемещая точку наблюдения вдоль оси, получают чередование максимумов на расстояниях $r^2/(2m-1)\lambda$. Диск, закрывающий несколько зон, оставляет светлое пятно в центре тени.