Задача 3.8.7

Решение

Волна сжатия

Качественное объяснение удобно провести через сферические волны.

Итак, метеорит ударяется о внешнюю границу стекла. Линейный размер области удара пусть много меньше толщины разрушения в месте удара (основное разрушение). На расстояниях порядка толщины основного разрушения в стекле движется бегущая сферическая волна (выглядит как полусферическая в стекле действительно) с центром волнового фронта в месте удара. Это волна сжатия и посчитаем ее толщину $\delta$ много меньше толщины основного разрушения (тонкая волна).

В точке $A$ был удар; $r$ есть расстояние от места удара до волны.

Продолжим рассуждения без учета каких-либо потерь энергии для тонкой сферической волны, которую в каждый данный момент по тонкой геометрии можно представить как состоящую из множества плоских волн, расходящихся в свою сторону.

Пусть изменение давления $\Delta P$ в нашей волне одинаково в каждый момент по всей толщине ее $\delta$. Энергия в волне из соотношения для плоских равна:

$$W=2\pi r^2\delta\cdot E\varepsilon^2,$$

где $2\pi r^2\delta$ есть объем волны на расстоянии $r$ от места удара, $E\varepsilon^2$ есть плотность энергии волны (тут $E$ есть модуль Юнга, $\varepsilon$ есть относительная деформация).

Откуда с учетом $\Delta P=E\varepsilon$

$$\Delta P=\sqrt{\frac{EW}{2\pi\delta}}\cdot\frac{1}{r}.$$

С расстоянием от точки удара изменение давления в волне падает. Можем считать, что волна смогла разрушить стекло на расстоянии $d$ (толщина основного разрушения), но не более, значит, максимальное выдерживаемое изменение давления сжатия

$$\boxed{\Delta P_\text{сж.$\,$max}=\sqrt{\frac{EW}{2\pi\delta}}\cdot\frac{1}{d}.\tag{1}}$$

Распространяясь сферическим куполом изменение давления в волне убывает с расстоянием, и при $r>d$ до касания внутренней грани (стороны стекла) изменение давления сжатия меньше $\Delta P_\text{сж.$\,$max}$ и стекло не разрушается.

Волна растяжения

Обозначим толщину стекла $H$.

Пусть внутренняя грань идеально свободная. Мы знаем по задаче $3.8.5$, что после касания фронта волны сжатия внутренней грани стекла возмущение в стекле будет результатом наложения этой прямой волны сжатия и такой же обратной волны, но растяжения, движущейся симметрично относительно свободной грани навстречу прямой волне. Обратная волна источается как будто из точки на расстоянии $2H$ от реального места удара.

Здесь $B$ есть мнимая точка истока обратной волны.

Не будем рассматривать тонкую область наложения прямой и обратной волн. Скажем, что через время $\delta/(2c)$ после касания прямой внутренней грани, где $c$ есть скорость распространения волны в стекле, на расстоянии $\delta/2$ от внутренней грани начнется появление возмущения чистого растяжения — это обратная волна, середина которой движется к точке удара метеорита.

Именно с этого момента может начать разрушаться стекло через растяжение, так как прочность стекла на растяжение значительно меньше(!), чем на сжатие. Разрушение растяжением упрощенно может быть в области, где побывает только обратная волна.

В нашей модели для края разрушения растяжением (на внутренней грани стекла), толщина которого пусть $b$, мы запишем формулу $(1)$ применительно к обратной волне по справедливости из симметри прямой и обратной волн:

$$\boxed{\Delta P_\text{рас.$\,$max}=\sqrt{\frac{EW}{2\pi\delta}}\cdot\frac{1}{H+b}.}\tag{2}$$

Разделим $(1)$ на $(2)$ и выразим $b$:

$$b=\frac{\Delta P_\text{сж.$\,$max}d-\Delta P_\text{рас.$\,$max}H}{\Delta P_\text{рас.$\,$max}}.$$

Условие существования разрушения внутри есть $b>0$, что на предыдущее накладывает

$$\Delta P_\text{сж.$\,$max}d-\Delta P_\text{рас.$\,$max}H>0$$

или

$$\boxed{d>\frac{\Delta P_\text{рас.$\,$max}}{\Delta P_\text{сж.$\,$max}}H.}$$

При таких толщинах основного разрушения появятся разрушения на внутренней стороне.

Посмотрите, что эта модель дает близкое значение толщины откола снутри по рисунку к задаче для обычных стекол с $\dfrac{\Delta P_\text{рас.$\,$max}}{\Delta P_\text{сж.$\,$max}}\sim0{,}1$.

В книге «Физика в задачах» так же под ред. О.Я. Савченко 2013 г. авторы в одной из задач предлагают тот же сюжет, но на расчет $\dfrac{\Delta P_\text{рас.$\,$max}}{\Delta P_\text{сж.$\,$max}}$.

Посмотреть результаты экспериментов по ударам метеоритов о стекло в статье [6] из Новосибирска.