Edits to “Решение”, “Литература”
ru/6.4.8.md
+4 −1
| ### Условие | |||
| $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\ll d$. | |||
| ### Решение | |||
| Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)). | |||
| Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$. | |||
|  | |||
| Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке). | |||
| Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$. | |||
| Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3]. | |||
| Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона. | |||
| Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин. | |||
|  | |||
| Нутрудно составить схему из этих конденсаторов, показав все соединения. | |||
|  | |||
| Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона | |||
| $$ | |||
| C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}. | |||
| $$ | |||
| Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$. | |||
| Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы | |||
| $$ | |||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al}{b}.\tag{1} | |||
| $$ | |||
| Заметим, что сумма объемов скрученных тонких параллелепипедов толщин $d$ и $b$ равна объему цилиндра с основанием радиуса $R$: | |||
| $$ | |||
| ald+alb=a\pi R^2, | |||
| $$ | |||
| откуда | |||
| $$ | |||
| b=\frac{\pi R^2-ld}{l}. | |||
| $$ | |||
| Подставим это в формулу $(1)$: | |||
| $$ | |||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al^2}{\pi R^2-ld} | |||
| $$ | |||
| и вынесем за скобки дробь $\dfrac{\varepsilon_0al}{d}$: | |||
| $$ | |||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). | |||
| $$ | |||
| @@ -67,7 +67,10 @@Решение | |||
| При $ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении). | |||
| − | #### | ||
| + | Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | #### Литература | ||
| [1] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3. | |||
| [2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. | |||
| [3] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант», | |||
| 1998, №1. | |||
| [4] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3. | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 13 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\ll d$. | $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\ll d$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)). | Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)). | ||
| Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$. | Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$. | ||
|  |  | ||
| Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке). | Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке). | ||
| Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$. | Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$. | ||
| Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3]. | Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3]. | ||
| Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона. | Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона. | ||
| Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин. | Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин. | ||
|  |  | ||
| Нутрудно составить схему из этих конденсаторов, показав все соединения. | Нутрудно составить схему из этих конденсаторов, показав все соединения. | ||
|  |  | ||
| Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона | Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона | ||
| $$ | $$ | ||
| C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}. | C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$. | Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$. | ||
| Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы | Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы | ||
| $$ | $$ | ||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al}{b}.\tag{1} | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al}{b}.\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| Заметим, что сумма объемов скрученных тонких параллелепипедов толщин $d$ и $b$ равна объему цилиндра с основанием радиуса $R$: | Заметим, что сумма объемов скрученных тонких параллелепипедов толщин $d$ и $b$ равна объему цилиндра с основанием радиуса $R$: | ||
| $$ | $$ | ||
| ald+alb=a\pi R^2, | ald+alb=a\pi R^2, | ||
| $$ | $$ | ||
| откуда | откуда | ||
| $$ | $$ | ||
| b=\frac{\pi R^2-ld}{l}. | b=\frac{\pi R^2-ld}{l}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим это в формулу $(1)$: | Подставим это в формулу $(1)$: | ||
| $$ | $$ | ||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al^2}{\pi R^2-ld} | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al^2}{\pi R^2-ld} | ||
| $$ | $$ | ||
| и вынесем за скобки дробь $\dfrac{\varepsilon_0al}{d}$: | и вынесем за скобки дробь $\dfrac{\varepsilon_0al}{d}$: | ||
| $$ | $$ | ||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -67,7 +67,10 @@Решение | |||
| При $ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении). | При $ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении). | ||
| #### |
Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. | ||
| #### Литература | |||
| [1] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3. | [1] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3. | ||
| [2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. | [2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. | ||
| [3] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант», | [3] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант», | ||
| 1998, №1. | 1998, №1. | ||
| [4] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3. | [4] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 13 | |||