Edit to “Решение”

igor edited
View solution History
revision #16192 parent #16191 ← older newer →
ru/6.4.8.md +38 −9
@@ -57,13 +57,13 @@Решение
Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию
$$
−\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}
+f(x)=\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}
$$
к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:
$$
−\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.
+f(x)=\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.
$$
Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии
@@ -75,34 +75,63 @@Решение
Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:
$$
−\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}
+f(x)=\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}
$$
и используем разложение $(3)$:
$$
−\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)
+f(x)=\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)
$$
и далее
$$
−\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots
+f(x)=\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots
$$
Так как $x=1/u$, то
$$
−x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots
+f(x)=x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots
$$
−Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$:
+Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$. Сначала ее первообразная:
$$
−I=\frac{R^2}{2d^2}+\frac{1}{2}\frac{R}{d}-\frac{1}{3}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{R}+\ldots
+F(x)=\frac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\ln x-\dfrac{1}{4x}+\ldots
$$
−Вынесем тут множитель $\dfrac{R^2}{2d^2}$:
+По формуле Ньютона—Лейбница с обозначением $X=R/d$
+
+$$
+I=F(X)-F(1),
+$$
+
+где
+
+$$
+F(X)=\frac{X^2}{2}+\dfrac{X}{2}-\dfrac{1}{3}\ln X-\dfrac{1}{4X}+\ldots
+$$
+
+и
+
+$$
+F(1)=\frac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\ln(1)-\dfrac{1}{4}+\ldots
+$$
+
+Вынесем в предыдущих двух формулах множитель $\dfrac{X^2}{2}$:
+
+$$
+F(X)=\frac{X^2}{2}\left(1+\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln X-\dfrac{2}{4X^3}+\ldots\right)
+$$
+
+и
+
+$$
+F(1)=\frac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\ln(1)-\dfrac{1}{4}+\ldots
+$$
+
$$
I=\frac{R^2}{2d^2}\left(1+\frac{d}{R}-\frac{1}{3}\frac{2d^2}{R^2}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{2d^3}{R^3}+\ldots\right)
unchanged lines 78