Edits to “Решение”, “Литература”, “Ответ”

igor edited Mar 2, 2026, 8:00 AM

View solution History

revision #16145 parent #16144 ← older newer →

ru/6.4.8.md +12 −10

			### Условие

			$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.

		@@ -5,11 +5,9 @@Условие

			### Решение

		−	#### [Корректное решение данной задачи приведено в "Принципы и практика решения задач по общей физике" ч.2 Электромагнетизм. А.Н. Паршаков (стр.104-107) изд. 2010 г. Его можно перенести сюда при возможности.]
		−
			Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разрежим мысленно рулон вдоль радиуса.

		−	![~~К задаче $6.4.8$~~\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)
		+	![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)

			Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

			Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость

			$$
			C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(\dfrac{r+d}{r}\right)}.
			$$

			Аргумент логарифма можно представить как $1+\dfrac{d}{r}$ и, так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, использовать разложение логарифма в ряд до первого члена

			$$
			\ln\left(r+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.
			$$

			Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:

			$$
		@@ -31,7 +29,7 @@Решение
			C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.
			$$

		−	Метод индукции. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (внутренний радиус которого $R$).
		+	Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (внутренний радиус которого $R$).

			Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем

			\begin{gather*}
			C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\
			C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\
			C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right).
			\end{gather*}

			Соответственно, для $n$-го конденсатора:

			$$
			C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right).
			$$

			Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора

			$$
			C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);
			$$

			здесь использовали формулу суммы натуральных чисел:

			$$
			1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
			$$

			Количество конденсаторов в рулоне примерно равно

			$$
			n=\frac{l}{2\pi R}.
			$$

			Подставим это в формулу для $C$ и упростим:

			$$
		@@ -71,23 +69,27 @@Решение
			C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right).
			$$

		−	Примечание: задача решена в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала).
		+	Примечание: задача решена в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6].


			#### Литература

		−	[1] ~~Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3~~.
		+	[1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).

		−	[2] С. М~~. Козел. Парадоксы плоского конденсатора~~. «Квант», ~~198~~5, №8.
		+	[2] Б. Мукушев. Решение физических задач с помощью метода индукции. «Квант», 2025, № 8.

		−	[3] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант»,
		+	[3] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3.
		+
		+	[4] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.
		+
		+	[5] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант»,
			1998, №1.

		−	[4] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3.
		+	[6] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3.


			#### Ответ

			$$
		−	C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2~~-ld~~}\right).
		+	C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right).
			$$