Edits to “Решение”, “Литература”, “Ответ”

igor edited Mar 10, 2026, 8:01 AM

View solution History

revision #16181 parent #16180 ← older newer →

ru/6.4.8.md +4 −94

			### Условие

			$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.


			### Решение

			Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].

			![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)

			Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).

			Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).

			- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.

			- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.

			Начнем с вычисления емкости $C_1$.

			Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость

			$$
			dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}
			$$

			Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

			$$
			dn=\frac{dr}{d+b}.
			$$

			Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

			$$
			x=\frac{r}{d}.
			$$

			После этих замен интегрирование $(1)$ дает:

			$$
			C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.
			$$

			Таким образом, нужно найти интеграл

			$$
			\boxed{I=\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2}
			$$

			(Определенный интеграл будет удобней, как выяснится позже.)


			Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию

			$$
			\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}
			$$

			к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:

			$$
			\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.
			$$

			Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии

			$$
			\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots.\tag{3}
			$$

			Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:

			$$
			\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}
			$$

			и используем разложение $(3)$:

			$$
			\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)
			$$

			и далее

			$$
			\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots
			$$

			Так как $x=1/u$, то

			$$
			x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots
			$$

			Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$:

			$$
			I=\frac{R^2}{2d^2}+\frac{1}{2}\frac{R}{d}-\frac{1}{3}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{R}+\ldots
			$$

			Вынесем тут множитель $\dfrac{R^2}{2d^2}$:

			$$
			I=\frac{R^2}{2d^2}\left(1+\frac{d}{R}-\frac{1}{3}\frac{2d^2}{R^2}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{2d^3}{R^3}+\ldots\right)
			$$

			и увидим, что в скобках все члены ряда после первого много меньше единицы.

			Таким образом

			$$
			I\approx\frac{R^2}{2d^2}.
			$$

			Отсюда пока получаем

			$$
			C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}.
			$$

			Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать

			$$
			C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}.
			$$

			Итак, емкость рулона

			$$
			C=C_1+C_2,
			$$

			значит:

			$$
			C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4}
			$$

			Из геометрии рулона

			$$
			b=\frac{\pi R^2-ld}{l}
			$$

			и

			$$
			\pi R^2=l(d+b).
			$$

			Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ

			$$
		@@ -156,116 +156,26 @@Решение
			C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
			$$

		+	Проанализировать этот ответ и рассмотреть его следствия может сам читатель.

		−	Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

		−	![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)
		+	Примечание: похожая задача, но с заданным внутренним радиусом решена в [3], куда может обратиться читатель и оценить корректность рассуждений авторов.

		−	Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

		−	Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$):
		−
		−	$$
		−	C_1, C_2, \ldots, C_n.
		−	$$
		−
		−	Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость
		−
		−	$$
		−	C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}.
		−	$$
		−
		−	Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена
		−
		−	$$
		−	\ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}.
		−	$$
		−
		−	Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:
		−
		−	$$
		−	C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.
		−	$$
		−
		−	Заметим, что можно записать и короче
		−
		−	$$
		−	C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,
		−	$$
		−
		−	где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.
		−
		−	Емкость рулона:
		−
		−	$$
		−	C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,
		−	$$
		−
		−	откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует
		−
		−	$$
		−	C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
		−	$$
		−
		−
			У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

		−	В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.

		−
		−	#### Комментарии к решению из [1]
		−
		−	Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.
		−
		−	![\|1202x912, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-07 092938.png)
		−
		−	Некорректность появилась ранее. Авторы до этого нашли предел интегрирования (конечный угол) по формуле
		−
		−	$$
		−	\Phi\approx\frac{l}{R},
		−	$$
		−
		−	не учитывают многовитковость. Хотя до этого они получили точную связь радиуса и угла
		−
		−	$$
		−	r=R+\frac{\varphi(d+b)}{2\pi}.
		−	$$
		−
		−	Таким образом, есть два варианта
		−
		−	- не забывать про многовитковость;
		−
		−	- везде полагать, что витков не так много и радиус сохраняется (что не подходит к формулировке задачи).
		−
		−	И вот, что получается. Элементарную емкость авторы пишут как
		−
		−	$$
		−	dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0ar}{d}d\varphi,
		−	$$
		−
		−	но заметим, что $r\,d\varphi=dl$, так что
		−
		−	$$
		−	dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0a}{d}dl,
		−	$$
		−
		−	а это приводит к ответу $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0al}{d}$.
		−
		−
			#### Литература

			[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.

			[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

		+	[3] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).


		−	[4] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).
		−
		−
		−
			#### Ответ

			$$
		−	C~~=\frac~~{\varepsilon_0al}{d}.
		+	C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
			$$

	### Условие		### Условие

	$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.		$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.


	### Решение		### Решение

	Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].		Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].

	![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)		![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)

	Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).		Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).

	Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).		Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).

	- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.		- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.

	- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.		- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.

	Начнем с вычисления емкости $C_1$.		Начнем с вычисления емкости $C_1$.

	Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость		Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость

	$$		$$
	dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}		dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}
	$$		$$

	Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:		Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

	$$		$$
	dn=\frac{dr}{d+b}.		dn=\frac{dr}{d+b}.
	$$		$$

	Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим		Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

	$$		$$
	x=\frac{r}{d}.		x=\frac{r}{d}.
	$$		$$

	После этих замен интегрирование $(1)$ дает:		После этих замен интегрирование $(1)$ дает:

	$$		$$
	C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.		C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.
	$$		$$

	Таким образом, нужно найти интеграл		Таким образом, нужно найти интеграл

	$$		$$
	\boxed{I=\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2}		\boxed{I=\int\limits_0^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2}
	$$		$$

	(Определенный интеграл будет удобней, как выяснится позже.)		(Определенный интеграл будет удобней, как выяснится позже.)


	Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию		Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию

	$$		$$
	\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}		\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}
	$$		$$

	к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:		к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:

	$$		$$
	\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.		\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.
	$$		$$

	Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии		Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии

	$$		$$
	\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots.\tag{3}		\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots.\tag{3}
	$$		$$

	Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:		Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:

	$$		$$
	\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}		\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}
	$$		$$

	и используем разложение $(3)$:		и используем разложение $(3)$:

	$$		$$
	\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)		\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)
	$$		$$

	и далее		и далее

	$$		$$
	\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots		\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots
	$$		$$

	Так как $x=1/u$, то		Так как $x=1/u$, то

	$$		$$
	x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots		x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots
	$$		$$

	Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$:		Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$:

	$$		$$
	I=\frac{R^2}{2d^2}+\frac{1}{2}\frac{R}{d}-\frac{1}{3}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{R}+\ldots		I=\frac{R^2}{2d^2}+\frac{1}{2}\frac{R}{d}-\frac{1}{3}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{R}+\ldots
	$$		$$

	Вынесем тут множитель $\dfrac{R^2}{2d^2}$:		Вынесем тут множитель $\dfrac{R^2}{2d^2}$:

	$$		$$
	I=\frac{R^2}{2d^2}\left(1+\frac{d}{R}-\frac{1}{3}\frac{2d^2}{R^2}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{2d^3}{R^3}+\ldots\right)		I=\frac{R^2}{2d^2}\left(1+\frac{d}{R}-\frac{1}{3}\frac{2d^2}{R^2}\ln\left(\frac{R}{d}\right)-\frac{1}{4}\frac{2d^3}{R^3}+\ldots\right)
	$$		$$

	и увидим, что в скобках все члены ряда после первого много меньше единицы.		и увидим, что в скобках все члены ряда после первого много меньше единицы.

	Таким образом		Таким образом

	$$		$$
	I\approx\frac{R^2}{2d^2}.		I\approx\frac{R^2}{2d^2}.
	$$		$$

	Отсюда пока получаем		Отсюда пока получаем

	$$		$$
	C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}.		C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}.
	$$		$$

	Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать		Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать

	$$		$$
	C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}.		C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}.
	$$		$$

	Итак, емкость рулона		Итак, емкость рулона

	$$		$$
	C=C_1+C_2,		C=C_1+C_2,
	$$		$$

	значит:		значит:

	$$		$$
	C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4}		C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4}
	$$		$$

	Из геометрии рулона		Из геометрии рулона

	$$		$$
	b=\frac{\pi R^2-ld}{l}		b=\frac{\pi R^2-ld}{l}
	$$		$$

	и		и

	$$		$$
	\pi R^2=l(d+b).		\pi R^2=l(d+b).
	$$		$$

	Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ		Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ

	$$		$$
	@@ -156,116 +156,26 @@Решение
	C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).		C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
	$$		$$

			Проанализировать этот ответ и рассмотреть его следствия может сам читатель.

	Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах между основными слоями пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

	![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)		Примечание: похожая задача, но с заданным внутренним радиусом решена в [3], куда может обратиться читатель и оценить корректность рассуждений авторов.

	Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

	Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$):

	$$
	C_1, C_2, \ldots, C_n.
	$$

	Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость

	$$
	C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}.
	$$

	Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

	$$
	\ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}.
	$$

	Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается:

	$$
	C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i.
	$$

	Заметим, что можно записать и короче

	$$
	C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i,
	$$

	где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор.

	Емкость рулона:

	$$
	C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i,
	$$

	откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует

	$$
	C=\frac{\varepsilon_0al}{d}.
	$$


	У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.		У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

	В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. Если это так, то расстояние зазора между основными слоями найти не получается. Если считать, что радиус $R$ есть внешний радиус, то можно найти расстояние зазора и учесть емкость зазора.


	#### Комментарии к решению из [1]

	Решение аналогичной задачи из пособия [1] непоследовательно, что дает разные ответы. Вот отрывок конца этого решения.

	![\|1202x912, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-07 092938.png)

	Некорректность появилась ранее. Авторы до этого нашли предел интегрирования (конечный угол) по формуле

	$$
	\Phi\approx\frac{l}{R},
	$$

	не учитывают многовитковость. Хотя до этого они получили точную связь радиуса и угла

	$$
	r=R+\frac{\varphi(d+b)}{2\pi}.
	$$

	Таким образом, есть два варианта

	- не забывать про многовитковость;

	- везде полагать, что витков не так много и радиус сохраняется (что не подходит к формулировке задачи).

	И вот, что получается. Элементарную емкость авторы пишут как

	$$
	dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0ar}{d}d\varphi,
	$$

	но заметим, что $r\,d\varphi=dl$, так что

	$$
	dC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0a}{d}dl,
	$$

	а это приводит к ответу $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0al}{d}$.


	#### Литература		#### Литература

	[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.		[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.

	[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.		[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

			[3] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).


	[4] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).



	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	C~~=\frac~~{\varepsilon_0al}{d}.		C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
	$$		$$