Edits to “Решение”, “Задача остается открытой”

igor edited Mar 6, 2026, 9:17 AM

View solution History

revision #16162 parent #16159 ← older newer →

ru/6.4.8.md +23 −1

			### Условие

			$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.


			### Решение

			Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса.

			![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)

			Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

			Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость

			$$
			C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}.
			$$

			Так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена

			$$
			\ln\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.
			$$

			Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:

			$$
			C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.
			$$

			Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$).

			Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем

			\begin{gather*}
			C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\
			C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\
			C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right).
			\end{gather*}

			Соответственно, для $n$-го конденсатора:

			$$
			C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right).
			$$

			Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора

			$$
			C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);
			$$

			здесь использовали формулу суммы арифметической прогрессии:

			$$
			1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
			$$

			Количество конденсаторов в рулоне примерно равно

			$$
			n\approx\frac{l}{2\pi R}.
			$$

			Подставим это в формулу для $C$ и упростим:

			$$
		@@ -69,12 +69,34 @@Решение
			C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right).
			$$

		−	Примечание: ~~задача решена~~ в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6].
		+	Примечание: решение задачи предлагается в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6].

			У Савченко ответ немного другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.

			В этом решении считаем что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона

		+
		+	#### Задача остается открытой
		+
		+	Количество конденсаторов $n$ в рулоне нужно вычислить точнее. По методу индукции ясно, что
		+
		+	$$
		+	l=2\pi R+2\pi (R+d)+2\pi (R+2d)+\ldots+2\pi \left(R+(n-1)d\right)
		+	$$
		+
		+	и компактно
		+
		+	$$
		+	l=2\pi\left(Rn+\frac{dn^2}{2}\right);
		+	$$
		+
		+	здесь использовали формулу суммы арифметической прогрессии и условие многовитковости $n\gg1$.
		+
		+	Но теперь подскобочное выражение тут равно подскобочному выражению в формуле емкости и при подстановке эта самая емкость получается как полное приближение плоского конденсатора
		+
		+	$$
		+	C=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\frac{l}{2\pi}=\frac{2\pi\varepsilon_0al}{d}.
		+	$$

			#### Литература

			[1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).

			[2] Б. Мукушев. Решение физических задач с помощью метода индукции. «Квант», 2025, № 8.

			[3] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3.

			[4] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

			[5] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант»,
			1998, №1.

			[6] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3.


			#### Ответ

			$$
			C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right).
			$$
		unchanged lines 19