Edit to “Решение”
ru/6.4.8.md
+6 −4
| ### Условие | |||
| $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$. | |||
| @@ -5,14 +5,18 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − | Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах вне основного слоя пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса. | ||
| + | Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах вне основного слоя пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса. | ||
|  | |||
| Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона). | |||
| − | Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$): | ||
| + | Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$): | ||
| + | $$ | ||
| + | C_1, C_2, \ldots, C_n. | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость | |||
| $$ | |||
| C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}. | |||
| $$ | |||
| Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена | |||
| $$ | |||
| \ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}. | |||
| $$ | |||
| Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается: | |||
| $$ | |||
| C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i. | |||
| $$ | |||
| Заметим, что можно записать и короче | |||
| $$ | |||
| C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i, | |||
| $$ | |||
| где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор. | |||
| Емкость рулона: | |||
| $$ | |||
| C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i, | |||
| $$ | |||
| откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует | |||
| $$ | |||
| @@ -51,8 +55,6 @@Решение | |||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}. | |||
| $$ | |||
| − | |||
| − | Примечание: альтернативное решение в аналогичной постановке опубликовано в [1]. | ||
| У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$. | |||
| В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. | |||
| #### Литература | |||
| [1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107). | |||
| [2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}. | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 15 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$. | $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$. | ||
| @@ -5,14 +5,18 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах вне основного слоя пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса. | Рулон представляем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус, как это предложено в задаче с решением в аналогичной постановке в пособии [1]. Полями и емкостями в зазорах вне основного слоя пренебрегаем [2]. Разрежем мысленно рулон вдоль радиуса. | ||
|  |  | ||
| Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона). | Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона). | ||
| Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$): |
Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (радиус которого $R$): | ||
| $$ | |||
| C_1, C_2, \ldots, C_n. | |||
| $$ | |||
| Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость | Выберем $i$-й конденсатор с внутренним радиусом $r_i$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость | ||
| $$ | $$ | ||
| C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}. | C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r_i}\right)}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена | Так как $\dfrac{d}{r_i}\ll1$, разложим логарифм в ряд до первого члена | ||
| $$ | $$ | ||
| \ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}. | \ln\left(1+\frac{d}{r_i}\right)\approx\frac{d}{r_i}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается: | Тогда емкость одного конденсатора для этой задачи переписывается: | ||
| $$ | $$ | ||
| C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i. | C_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r_i. | ||
| $$ | $$ | ||
| Заметим, что можно записать и короче | Заметим, что можно записать и короче | ||
| $$ | $$ | ||
| C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i, | C_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}l_i, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор. | где $l_i=2\pi r_i$ есть длина окружности основания, накотором стоит $i$-й конденсатор. | ||
| Емкость рулона: | Емкость рулона: | ||
| $$ | $$ | ||
| C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i, | C=\sum_iC_i=\frac{\varepsilon_0a}{d}\sum_il_i, | ||
| $$ | $$ | ||
| откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует | откуда в силу равенства $l=\sum_il_i$ следует | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -51,8 +55,6 @@Решение | |||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}. | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Примечание: альтернативное решение в аналогичной постановке опубликовано в [1]. | |||
| У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$. | У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$. | ||
| В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. | В этом решении считаем, что Савченко под $R$ подразумевал именно внутренний радиус рулона. | ||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107). | [1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107). | ||
| [2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. | [2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}. | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}. | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 15 | |||