Edits to “Решение”, “Приложение”, “Альтернативное решение”

igor edited Jun 29, 2026, 6:07 AM

View solution History

revision #19401 parent #19234 ← older newer →

ru/6.4.8.md +75 −2

			### Условие

			$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.


			### Решение

			Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].

			![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)

			Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).

			Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).

			- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.

			- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.

			Начнем с вычисления емкости $C_1$.

			Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость

			$$
			dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}
			$$

			Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

			$$
			dn=\frac{dr}{d+b}.
			$$

			Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

			$$
			x=\frac{r}{d}.
			$$

			После этих замен интегрирование $(1)$ дает:

			$$
			C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.
			$$

			(Нижний предел интегрирования равен $1$, то есть условимся, что ось рулона имеет толщину $d$. Это нужно для обеспечения сходимости ряда, в который будем разлагать далее логарифм при вычислении интеграла.)

			Таким образом, нужно найти интеграл

			$$
		@@ -51,7 +51,7 @@Решение
			\boxed{I=\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2}
			$$

		−	(Определенный интеграл будет удобней, что станет ясно из самого способа вычисления интеграла.)
		+	(Определенный интеграл будет удобней, что станет ясно из самого способа вычисления интеграла. Если далее будет сложно, то смотрите альтернативный способ нахождения интеграла в Приложении.)

			Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию

			$$
			f(x)=\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}
			$$

			к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:

			$$
			f(x)=\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.
			$$

			(На всем интервале интегрирования ряд сходится, $0<u\leqslant1$.)

			Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии

			$$
			\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots\tag{3}
			$$

			Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:

			$$
			f(x)=\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}
			$$

			и используем разложение $(3)$:

			$$
			f(x)=\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)
			$$

			и далее

			$$
			f(x)=\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots
			$$

			Так как $x=1/u$, то

			$$
			f(x)=x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots
			$$

			Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$. Сначала ее первообразная:

			$$
			F(x)=\frac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\ln x-\dfrac{1}{4x}+\ldots
			$$

			По формуле Ньютона—Лейбница с обозначением $X=R/d$

			$$
			I=F(X)-F(1),
			$$

			где

			$$
			F(X)=\frac{X^2}{2}+\dfrac{X}{2}-\dfrac{1}{3}\ln X-\dfrac{1}{4X}+\ldots
			$$

			и

			$$
			F(1)=\frac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\ln(1)-\dfrac{1}{4}+\ldots
			$$

			Вынесем в предыдущих двух формулах множитель $\dfrac{X^2}{2}$:

			$$
			F(X)=\frac{X^2}{2}\left(1+\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln X-\dfrac{2}{4X^3}+\ldots\right)
			$$

			и

			$$
			F(1)=\frac{X^2}{2}\left(\frac{1}{X^2}+\dfrac{1}{X^2}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln(1)-\dfrac{2}{4X^2}+\ldots\right)
			$$

			Вычитая предыдущие две формулы и с условием $X=R/d\gg1$ пренебрегая слагаемыми много меньшими единицы получаем

			$$
			I\approx\frac{X^2}{2}=\frac{R^2}{2d^2}.
			$$

			Отсюда пока получаем

			$$
			C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}.
			$$

			Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать

			$$
			C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}.
			$$

			Итак, емкость рулона

			$$
			C=C_1+C_2,
			$$

			значит:

			$$
			C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4}
			$$

			Из геометрии рулона

			$$
			b=\frac{\pi R^2-ld}{l}
			$$

			и

			$$
			\pi R^2=l(d+b).
			$$

			Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ

			$$
			C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
			$$

			Проанализировать этот ответ и рассмотреть его следствия может сам читатель.


			Комментарии: при $b=d$ получается, что емкость рулона равна удвоенному значению емкости размотанного конденсатора; такой же результат приводится в книге [3] при рассмотрении спирального конденсатора.

			Примечание: похожая задача, но с заданным внутренним радиусом решена в [4], куда может обратиться читатель и оценить корректность рассуждений авторов.

		@@ -191,7 +191,7 @@Решение
			У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.


		−	### ~~Альтернативное реш~~ение
		+	#### Приложение

			На большом диапазоне $x\gg1$ график подынтегральной функции в $(2)$

			![\|854x845, 50%](../../img/6.4.8/6.4.8a.png)

			не отличается от линейной $f(x)=x$.

			Так что значение интеграла $(2)$

			$$
			I\approx\int\limits_1^{R/d}x\,dx\approx\frac{R^2}{2d^2}.
		@@ -206,6 +206,79 @@Приложение
			$$

			Дальнейшее совпадает с основным решением.
		+
		+
		+	#### Альтернативное решение
		+
		+	Радиус $R$ рулона считаем внешним, рулон сплошной. Емкость рулона складывается из емкости $C_1$ цилиндрических конденсаторов толщины $d$ и емкости $C_2$ цилиндрических конденсаторов толщины $b$, где $b$ есть отступ между слоями толщиной $d$, так как пластины не должные соприкасаться (в эквивалентной схеме все цилиндрические конденсаторы соединены параллельно [2])
		+
		+	Начинаем с емкости $C_1$.
		+
		+	Выберем произвольный $i$-ый по счету от оси цилиндрический конденсатор толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона и запишем для него (см. решение задачи 6.4.7):
		+
		+	$$
		+	C_1i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\frac{d}{r}\right)}
		+	$$
		+
		+	или с учетом $r=i(d+b)$
		+
		+	$$
		+	C_1i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\frac{d}{i(d+b)}\right)}.
		+	$$
		+
		+	Следовательно, сумма всех дает первую часть емкости рулона
		+
		+	$$
		+	C_1=2\pi\varepsilon_0a\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{\ln\left(1+\dfrac{d}{i(d+b)}\right)},
		+	$$
		+
		+	где $n=R/(d+b)$ есть количество цилиндрических конденсаторов толщины $d$ в рулоне.
		+
		+	На большом диапазоне $i\gg 1$ значения элементов суммы лежит на функции $f(i)=\frac{d+b}{d}i$ (покажите самостоятельно, посмотрите Приложение в основном решении).
		+
		+	Поэтому
		+
		+	$$
		+	C_1\approx2\pi\varepsilon_0a\frac{d+b}{d}\sum\limits_{i=1}^n i\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}
		+	$$
		+
		+	при $n\gg1$.
		+
		+	Аналогично рассчитывается $C_2$ — суммарная емкость цилиндрических конденсаторов толщины $b$. Для нее получим
		+
		+	$$
		+	C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{b}.
		+	$$
		+
		+	Все цилиндрические конденсаторы соединены параллельно, поэтому емкость рулона
		+
		+	$$
		+	C=C_1+C_2,
		+	$$
		+
		+	значит:
		+
		+	$$
		+	C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).
		+	$$
		+
		+	Из геометрии рулона
		+
		+	$$
		+	b=\frac{\pi R^2-ld}{l}
		+	$$
		+
		+	и
		+
		+	$$
		+	\pi R^2=l(d+b).
		+	$$
		+
		+	Предыдыущие три формулы объединяем, упрощаем и получаем такой ответ
		+
		+	$$
		+	C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
		+	$$


			#### Литература

			[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.

			[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

			[3] Электрические конденсаторы. Ренне В.Т. 1969. C. 17.

			[4] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).


			#### Ответ

			$$
			C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
			$$
		unchanged lines 15

	### Условие		### Условие

	$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.		$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.


	### Решение		### Решение

	Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].		Радиус $R$ рулона обычно считается внешним, а рулон является сплошным [1].

	![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)		![\|1149x672, 100%](../../img/6.4.8/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-10 083933.png)

	Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).		Сделаем рассуждения по возможности точными: рулонный конденсатор (рулон) рассмотрим как множество цилиндрических конденсаторов (см. задачу [$6.4.7$](/ru/6.4.7)) с плавно меняющимся радиусом, учтем емкость зазора между основными слоями [2]. Зазор считаем постоянным, его величину обозначим $b$ (далее мы выразим ее через данные в задаче).

	Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).		Емкость рулона $C$ складывается из емкости $C_1$ основных слоев и емкости $C_2$ зазоров (в эквивалентной схеме они соединены параллельно [2]).

	- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.		- Емкость $C_1$ складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов (они соединены параллельно) с расстоянием $d$ между обкладками.

	- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.		- Емкость $C_2$ аналогично складывается из емкостей элементов цилиндрических конденсаторов, но с расстоянием $b$ между обкладками.

	Начнем с вычисления емкости $C_1$.		Начнем с вычисления емкости $C_1$.

	Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость		Представим произвольный цилиндрический конденсатор с толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона. Умножение емкости этого конденсатора на малое приращение $dn$ количества таких конденсаторов даст элементарную емкость

	$$		$$
	dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}		dC_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 a}{\ln\left(1+\dfrac{d}{r}\right)}dn.\tag{1}
	$$		$$

	Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:		Величина $dn$ удобно выражается через приращение $dr$ расстояния от оси рулона:

	$$		$$
	dn=\frac{dr}{d+b}.		dn=\frac{dr}{d+b}.
	$$		$$

	Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим		Для удобства дальнейшего интегрирования обозначим

	$$		$$
	x=\frac{r}{d}.		x=\frac{r}{d}.
	$$		$$

	После этих замен интегрирование $(1)$ дает:		После этих замен интегрирование $(1)$ дает:

	$$		$$
	C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.		C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0 ad}{d+b}\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.
	$$		$$

	(Нижний предел интегрирования равен $1$, то есть условимся, что ось рулона имеет толщину $d$. Это нужно для обеспечения сходимости ряда, в который будем разлагать далее логарифм при вычислении интеграла.)		(Нижний предел интегрирования равен $1$, то есть условимся, что ось рулона имеет толщину $d$. Это нужно для обеспечения сходимости ряда, в который будем разлагать далее логарифм при вычислении интеграла.)

	Таким образом, нужно найти интеграл		Таким образом, нужно найти интеграл

	$$		$$
	@@ -51,7 +51,7 @@Решение
	\boxed{I=\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2}		\boxed{I=\int\limits_1^{R/d}\frac{dx}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.}\tag{2}
	$$		$$

	(Определенный интеграл будет удобней, что станет ясно из самого способа вычисления интеграла.)		(Определенный интеграл будет удобней, что станет ясно из самого способа вычисления интеграла. Если далее будет сложно, то смотрите альтернативный способ нахождения интеграла в Приложении.)

	Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию		Введем временную переменную $u=1/x$ и начнем приводить подынтегральную функцию

	$$		$$
	f(x)=\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}		f(x)=\frac{1}{\ln\left(1+u\right)}
	$$		$$

	к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:		к удобному для интегрирования виду через разложение в ряд логарифма:

	$$		$$
	f(x)=\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.		f(x)=\frac{1}{u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3}-\ldots}.
	$$		$$

	(На всем интервале интегрирования ряд сходится, $0<u\leqslant1$.)		(На всем интервале интегрирования ряд сходится, $0<u\leqslant1$.)

	Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии		Нужно избавиться от ряда в знаменателе. Будем использовать формулу геометрической прогрессии

	$$		$$
	\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots\tag{3}		\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+\ldots\tag{3}
	$$		$$

	Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:		Выделим в нашей функции выражение вида $\dfrac{1}{1-q}$:

	$$		$$
	f(x)=\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}		f(x)=\frac{1}{u}\frac{1}{\left(1-\left(\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)\right)}
	$$		$$

	и используем разложение $(3)$:		и используем разложение $(3)$:

	$$		$$
	f(x)=\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)		f(x)=\frac{1}{u}\left(1+\dfrac{u}{2}-\dfrac{u^2}{3}+\dfrac{u^3}{4}-\ldots\right)
	$$		$$

	и далее		и далее

	$$		$$
	f(x)=\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots		f(x)=\frac{1}{u}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{u}{3}+\dfrac{u^2}{4}-\ldots
	$$		$$

	Так как $x=1/u$, то		Так как $x=1/u$, то

	$$		$$
	f(x)=x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots		f(x)=x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{4x^2}-\ldots
	$$		$$

	Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$. Сначала ее первообразная:		Вот эту функцию уже можем интегрировать по $x$, используя формулу $(2)$. Сначала ее первообразная:

	$$		$$
	F(x)=\frac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\ln x-\dfrac{1}{4x}+\ldots		F(x)=\frac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\ln x-\dfrac{1}{4x}+\ldots
	$$		$$

	По формуле Ньютона—Лейбница с обозначением $X=R/d$		По формуле Ньютона—Лейбница с обозначением $X=R/d$

	$$		$$
	I=F(X)-F(1),		I=F(X)-F(1),
	$$		$$

	где		где

	$$		$$
	F(X)=\frac{X^2}{2}+\dfrac{X}{2}-\dfrac{1}{3}\ln X-\dfrac{1}{4X}+\ldots		F(X)=\frac{X^2}{2}+\dfrac{X}{2}-\dfrac{1}{3}\ln X-\dfrac{1}{4X}+\ldots
	$$		$$

	и		и

	$$		$$
	F(1)=\frac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\ln(1)-\dfrac{1}{4}+\ldots		F(1)=\frac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\ln(1)-\dfrac{1}{4}+\ldots
	$$		$$

	Вынесем в предыдущих двух формулах множитель $\dfrac{X^2}{2}$:		Вынесем в предыдущих двух формулах множитель $\dfrac{X^2}{2}$:

	$$		$$
	F(X)=\frac{X^2}{2}\left(1+\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln X-\dfrac{2}{4X^3}+\ldots\right)		F(X)=\frac{X^2}{2}\left(1+\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln X-\dfrac{2}{4X^3}+\ldots\right)
	$$		$$

	и		и

	$$		$$
	F(1)=\frac{X^2}{2}\left(\frac{1}{X^2}+\dfrac{1}{X^2}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln(1)-\dfrac{2}{4X^2}+\ldots\right)		F(1)=\frac{X^2}{2}\left(\frac{1}{X^2}+\dfrac{1}{X^2}-\dfrac{1}{3}\frac{2}{X^2}\ln(1)-\dfrac{2}{4X^2}+\ldots\right)
	$$		$$

	Вычитая предыдущие две формулы и с условием $X=R/d\gg1$ пренебрегая слагаемыми много меньшими единицы получаем		Вычитая предыдущие две формулы и с условием $X=R/d\gg1$ пренебрегая слагаемыми много меньшими единицы получаем

	$$		$$
	I\approx\frac{X^2}{2}=\frac{R^2}{2d^2}.		I\approx\frac{X^2}{2}=\frac{R^2}{2d^2}.
	$$		$$

	Отсюда пока получаем		Отсюда пока получаем

	$$		$$
	C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}.		C_1\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}.
	$$		$$

	Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать		Рассуждения для нахождения $C_2$ аналогичны. Из симметрии предыдущей формулы относительно $d$ и $b$ можем сразу написать

	$$		$$
	C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}.		C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{b+d}\frac{R^2}{b}.
	$$		$$

	Итак, емкость рулона		Итак, емкость рулона

	$$		$$
	C=C_1+C_2,		C=C_1+C_2,
	$$		$$

	значит:		значит:

	$$		$$
	C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4}		C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).\tag{4}
	$$		$$

	Из геометрии рулона		Из геометрии рулона

	$$		$$
	b=\frac{\pi R^2-ld}{l}		b=\frac{\pi R^2-ld}{l}
	$$		$$

	и		и

	$$		$$
	\pi R^2=l(d+b).		\pi R^2=l(d+b).
	$$		$$

	Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ		Предыдыущие две формулы подставляем в $(4)$, упрощаем и получаем такой ответ

	$$		$$
	C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).		C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
	$$		$$

	Проанализировать этот ответ и рассмотреть его следствия может сам читатель.		Проанализировать этот ответ и рассмотреть его следствия может сам читатель.


	Комментарии: при $b=d$ получается, что емкость рулона равна удвоенному значению емкости размотанного конденсатора; такой же результат приводится в книге [3] при рассмотрении спирального конденсатора.		Комментарии: при $b=d$ получается, что емкость рулона равна удвоенному значению емкости размотанного конденсатора; такой же результат приводится в книге [3] при рассмотрении спирального конденсатора.

	Примечание: похожая задача, но с заданным внутренним радиусом решена в [4], куда может обратиться читатель и оценить корректность рассуждений авторов.		Примечание: похожая задача, но с заданным внутренним радиусом решена в [4], куда может обратиться читатель и оценить корректность рассуждений авторов.

	@@ -191,7 +191,7 @@Решение
	У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.		У Савченко ответ другой: $C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\right)$.


	### ~~Альтернативное реш~~ение		#### Приложение

	На большом диапазоне $x\gg1$ график подынтегральной функции в $(2)$		На большом диапазоне $x\gg1$ график подынтегральной функции в $(2)$

	![\|854x845, 50%](../../img/6.4.8/6.4.8a.png)		![\|854x845, 50%](../../img/6.4.8/6.4.8a.png)

	не отличается от линейной $f(x)=x$.		не отличается от линейной $f(x)=x$.

	Так что значение интеграла $(2)$		Так что значение интеграла $(2)$

	$$		$$
	I\approx\int\limits_1^{R/d}x\,dx\approx\frac{R^2}{2d^2}.		I\approx\int\limits_1^{R/d}x\,dx\approx\frac{R^2}{2d^2}.
	@@ -206,6 +206,79 @@Приложение
	$$		$$

	Дальнейшее совпадает с основным решением.		Дальнейшее совпадает с основным решением.


			#### Альтернативное решение

			Радиус $R$ рулона считаем внешним, рулон сплошной. Емкость рулона складывается из емкости $C_1$ цилиндрических конденсаторов толщины $d$ и емкости $C_2$ цилиндрических конденсаторов толщины $b$, где $b$ есть отступ между слоями толщиной $d$, так как пластины не должные соприкасаться (в эквивалентной схеме все цилиндрические конденсаторы соединены параллельно [2])

			Начинаем с емкости $C_1$.

			Выберем произвольный $i$-ый по счету от оси цилиндрический конденсатор толщиной $d$ на расстоянии $r$ от оси рулона и запишем для него (см. решение задачи 6.4.7):

			$$
			C_1i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\frac{d}{r}\right)}
			$$

			или с учетом $r=i(d+b)$

			$$
			C_1i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(1+\frac{d}{i(d+b)}\right)}.
			$$

			Следовательно, сумма всех дает первую часть емкости рулона

			$$
			C_1=2\pi\varepsilon_0a\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{\ln\left(1+\dfrac{d}{i(d+b)}\right)},
			$$

			где $n=R/(d+b)$ есть количество цилиндрических конденсаторов толщины $d$ в рулоне.

			На большом диапазоне $i\gg 1$ значения элементов суммы лежит на функции $f(i)=\frac{d+b}{d}i$ (покажите самостоятельно, посмотрите Приложение в основном решении).

			Поэтому

			$$
			C_1\approx2\pi\varepsilon_0a\frac{d+b}{d}\sum\limits_{i=1}^n i\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{d}
			$$

			при $n\gg1$.

			Аналогично рассчитывается $C_2$ — суммарная емкость цилиндрических конденсаторов толщины $b$. Для нее получим

			$$
			C_2\approx\frac{\pi\varepsilon_0 a}{d+b}\frac{R^2}{b}.
			$$

			Все цилиндрические конденсаторы соединены параллельно, поэтому емкость рулона

			$$
			C=C_1+C_2,
			$$

			значит:

			$$
			C\approx\frac{\pi\varepsilon_0 aR^2}{b+d}\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{b}\right).
			$$

			Из геометрии рулона

			$$
			b=\frac{\pi R^2-ld}{l}
			$$

			и

			$$
			\pi R^2=l(d+b).
			$$

			Предыдыущие три формулы объединяем, упрощаем и получаем такой ответ

			$$
			C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
			$$


	#### Литература		#### Литература

	[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.		[1] Борисов В.Г., Отряшенков Ю.М. Юный радиолюбитель. 1966. C. 111.

	[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.		[2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

	[3] Электрические конденсаторы. Ренне В.Т. 1969. C. 17.		[3] Электрические конденсаторы. Ренне В.Т. 1969. C. 17.

	[4] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).		[4] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).


	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).		C\approx\frac{\varepsilon_0 al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right).
	$$		$$
	unchanged lines 15