Edit to “Решение”

igor edited Mar 2, 2026, 10:50 AM

View solution History

revision #16148 parent #16146 ← older newer →

ru/6.4.8.md +1 −1

			### Условие

			$6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\gg d$.


			### Решение

			Рулон предсталяем как свиток, где $R$ есть его внутренний радиус [1]. Разрежим мысленно рулон вдоль радиуса.

			![\|935x601, 50%](../../img/6.4.8/ÐÐµÐ· Ð¸Ð¼ÐµÐ½Ð¸.png)

			Мы получили как бы множество цилиндрических конденсаторов, соединенных параллельно (сумма их емкостей есть емкость рулона).

			Выберем один из цилиндрических конденсаторов с произвольным внутренним радиусом $r>R$ и, используя результат решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7), запишем его емкость

			$$
			C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{\ln\left(\dfrac{r+d}{r}\right)}.
			$$

		@@ -20,7 +20,7 @@Решение
			Аргумент логарифма можно представить как $1+\dfrac{d}{r}$ и, так как $\dfrac{d}{r}\ll1$, использовать разложение логарифма в ряд до первого члена

			$$
		−	\ln\left(r+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.
		+	\ln\left(1+\frac{d}{r}\right)\approx\frac{d}{r}.
			$$

			Тогда емкость одного цилиндрического конденсатора для этой задачи переписывается:

			$$
			C_\text{ц}=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}r.
			$$

			Метод индукции [2]. Пронумеруем цилиндрические конденсаторы (кратко — конденсаторы), начиная с внутреннего (внутренний радиус которого $R$).

			Для первого, второго, третьего конденсаторов имеем

			\begin{gather*}
			C_1=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}R,\\\\
			C_2=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+d\right),\\\\
			C_3=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+2d\right).
			\end{gather*}

			Соответственно, для $n$-го конденсатора:

			$$
			C_n=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(R+(n-1)d\right).
			$$

			Итак, сложим емкости отдельных конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\ldots$ , $C_n$ и получим емкость рулонного конденсатора

			$$
			C=\sum_i^nC_i=\frac{2\pi\varepsilon_0a}{d}\left(Rn+d\frac{(n-1)n}{2}\right);
			$$

			здесь использовали формулу суммы натуральных чисел:

			$$
			1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
			$$

			Количество конденсаторов в рулоне примерно равно

			$$
			n\approx\frac{l}{2\pi R}.
			$$

			Подставим это в формулу для $C$ и упростим:

			$$
			C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right).
			$$

			Примечание: задача решена в пособии [1]; также остается вопрос об учете емкости промежуточного слоя, на дающего соприкасаться лентам при сворачивании (в промежуточном слое должно образовываться поле, так как он разделяет проводники разного потенциала) [3–6].


			#### Литература

			[1] "Принципы и практика решения задач по общей физике". Ч.2: Электромагнетизм. А.Н. Паршаков. Изд. 2010 г (стр.104–107).

			[2] Б. Мукушев. Решение физических задач с помощью метода индукции. «Квант», 2025, № 8.

			[3] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3.

			[4] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8.

			[5] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант»,
			1998, №1.

			[6] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3.


			#### Ответ

			$$
			C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{4\pi R^2}\right).
			$$
		unchanged lines 69