13. Геометрическая оптика. Фотометрия. Квантовая природа светаФормулы Савченко, глава 13 из 14, 18 формул
Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.
Параксиальные лучи, параллельные оси, после отражения от сферического зеркала сходятся в точке на середине радиуса. Для вогнутого зеркала фокус действительный, для выпуклого мнимый, и его $F$ берут со знаком минус. Луч, падающий далеко от оси под углом $\alpha$, пересекает ось на расстоянии $R/(2\cos\alpha)$ от центра, поэтому широкий пучок в точку не собирается.
Та же формула тонкой линзы или зеркала, только расстояния отсчитаны от фокусов, а не от линзы. Подстановка $a = l_1 + f$,$b = l_2 + f$ в $1/a + 1/b = 1/f$ сразу даёт $l_1 l_2 = f^2$.
Профиль, собирающий все лучи, параллельные оси, в одну точку, есть парабола с фокусом в этой точке. Её находят из равенства оптических путей, сумма расстояния от фронта до точки профиля и от неё до фокуса одинакова для всех лучей.
Для рассеивающей линзы $f < 0$, для мнимого изображения $b < 0$, для мнимого предмета (сходящийся на линзу пучок) $a < 0$. С теми же знаками формула верна для сферического зеркала с $f = R/2$. Изображение, построенное первой линзой, служит предметом для второй.
Углы отсчитывают от нормали к границе. Произведение $n\sin\alpha$ сохраняется вдоль луча через любую стопку плоских слоёв, поэтому в слоистой среде достаточно знать показатель в начальной и конечной точке. Для малых углов синусы заменяют самими углами.
Складываются вклады двух поверхностей, каждая даёт $(n/n_0 - 1)/R$. Вогнутой поверхности соответствует отрицательный радиус, плоской бесконечный. В воде ($n_0 > 1$) оптическая сила стеклянной линзы падает, а воздушная линза в воде рассеивает там, где стеклянная собирает.
Луч, идущий из более плотной среды под углом больше предельного, не выходит наружу и отражается целиком. На воздух $\sin\alpha_{\text{пр}} = 1/n$. Условие выхода луча из призмы или волокна записывают как $\sin\gamma < 1/n$ для угла на внутренней грани.
При взгляде почти по нормали предмет в среде с показателем $n$ кажется в $n$ раз ближе к границе. Это закон преломления для малых углов, $n\beta = \alpha$, применённый к двум лучам из одной точки. Для наблюдателя внутри среды предмет снаружи, наоборот, кажется в $n$ раз дальше.
Для малого угла клина и почти нормального падения угол отклонения не зависит от угла падения. Если клин стоит между средами с показателями $n_1$ и $n_2$, отклонение $(n_1 - n_2)\alpha$, а в фокальной плоскости линзы оно сдвигает изображение на $f\delta$.
Поперечное увеличение равно отношению расстояний, потому что луч через центр линзы не преломляется. Продольный размер малого предмета вдоль оси увеличивается в $\Gamma^2$ раз, поэтому изображение куба вытянуто вдоль оси.
Оптические силы тонких линз, сложенных без зазора, складываются. Так же складываются силы преломляющих поверхностей и зеркала в системе из линзы с посеребрённой гранью, где свет проходит линзу дважды.
Линза, собирающая свет протяжённого источника, забирает поток, пропорциональный площади своего отверстия и телесному углу, под которым виден источник. Освещённость изображения поэтому растёт как квадрат отношения диаметра линзы к расстоянию до изображения и не зависит от расстояния до далёкого предмета.
$$E = \frac{I\cos\varphi}{r^2}, \qquad I = \frac{P}{4\pi}$$
I
сила света источника
r
расстояние до площадки
$\varphi$
угол между лучом и нормалью к площадке
P
полный поток изотропного источника
Поток в телесный угол $d\Omega$ равен $I\,d\Omega$, а площадка $dS$ на расстоянии $r$ видна под углом $dS\cos\varphi/r^2$. Отсюда закон обратных квадратов и множитель косинуса. Освещённости от нескольких источников складываются.
Свет поглощается и излучается порциями. Фотон несёт импульс, поэтому атом, поглотивший или испустивший его, получает скорость отдачи $h\nu/mc$, а при отражении от зеркала импульс передаётся дважды. Столкновение фотона с частицей решают законами сохранения энергии и импульса, как упругий удар.
Луч, проходящий на расстоянии $b$ от массы $M$, поворачивается на малый угол $\alpha$. Если луч идёт сквозь протяжённое тело, в формулу входит масса внутри цилиндра радиуса $b$, так тело действует как гравитационная линза.
Фотон с энергией $h\nu$ ведёт себя как масса $h\nu/c^2$ и, поднимаясь из поля тяготения, теряет энергию $GMh\nu/(Rc^2)$. Частота на бесконечности поэтому меньше.