← Формулы Савченко

4. Механика жидкостиФормулы Савченко, глава 4 из 14, 12 формул

Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.

На этой странице таких формул нет.

4.1Давление жидкости

Гидростатическое давление Hydrostatic pressure

закон 4.1

p = p_0 + \rho g h

силанаплоскуюстенкувеёцентре$\displaystyle F = pS\ \text{(сила на плоскую стенку, }p\text{ в её центре)}$

вращающаясяжидкость$\displaystyle p(r) = p_0 + \frac{\rho\omega^2 r^2}{2}\ \text{(вращающаяся жидкость)}$

p₀: давление на поверхности, обычно атмосферное
h: глубина
$\rho$: плотность жидкости

Давление в покоящейся жидкости растёт с глубиной на $\rho g$ на каждый метр и одинаково во всех точках одного уровня, независимо от формы сосуда. Сила на стенку равна давлению в её центре тяжести на площадь, сила на изогнутую стенку считается по проекции. Во вращающемся сосуде давление растёт от оси как $\rho\omega^2 r^2/2$ , а поверхность становится параболоидом.

Закон Паскаля. Гидравлический пресс Pascal's law and the hydraulic press

закон 4.1

\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}

F₁, F₂: силы на поршни
S₁, S₂: площади поршней

Давление, созданное на жидкость, передаётся во все её точки одинаково, поэтому силы на два поршня относятся как их площади. Выигрыш в силе оплачивается проигрышем в перемещении, работа одинакова. Давление на стенки сосуда любой формы действует по нормали к ним.

Встречается в задачах (5) 4.1.2 4.1.3 4.1.5 4.1.6 4.1.7

4.2Плавание. Закон Архимеда

Закон Архимеда Archimedes' principle

закон 4.2

жпогр$$F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}$$

телажпогрплавание$\displaystyle \rho_{\text{тела}} V g = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}\ \text{(плавание)}$

жвесвжидкости$\displaystyle N = (\rho - \rho_{\text{ж}})gV\ \text{(вес в жидкости)}$

$ж$\rho_{\text{ж}}$$: плотность жидкости
$погр$V_{\text{погр}}$$: объём погружённой части
F_A: выталкивающая сила, приложена в центре тяжести вытесненной жидкости

Выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости, потому что давление на погружённое тело такое же, как на жидкость, которая была бы на его месте. Плавающее тело вытесняет жидкость своего веса, тонущее давит на дно с разностью веса и силы Архимеда. В ускоренной жидкости $$g$$ заменяют эффективным.

4.3Движение идеальной жидкости

Формула Торричелли Torricelli's law

закон 4.3

v = \sqrt{2gh}

расходчерезотверстие$\displaystyle Q = S\sqrt{2gh}\ \text{(расход через отверстие)}$

дальностьструиизбака$\displaystyle x = 2\sqrt{h(H - h)}\ \text{(дальность струи из бака)}$

h: глубина отверстия под свободной поверхностью
v: скорость вытекающей струи

Струя вытекает из отверстия с такой же скоростью, с какой упало бы тело с высоты уровня жидкости, это уравнение Бернулли для поверхности и отверстия при одинаковом атмосферном давлении. Уровень при этом считают неизменным, если отверстие мало.

Уравнение неразрывности Continuity equation

закон 4.3

$$S_1 v_1 = S_2 v_2$$

\displaystyle Q = Sv = \text{const}

S₁, S₂: площади сечений трубы
v₁, v₂: скорости потока в них
Q: объёмный расход

Несжимаемая жидкость не накапливается, поэтому за секунду через любое сечение трубы проходит один и тот же объём, и в узком месте поток быстрее. Для сферически расходящегося течения скорость убывает как $$1/r^2$$ .

Встречается в задачах (10) 3.2.36 4.3.4 4.3.7 4.3.8 4.3.10 4.3.12 4.3.18 4.3.20

Уравнение Бернулли Bernoulli's equation

закон 4.3

p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \text{const}

\displaystyle v = \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}

скоростнойнапор$\displaystyle \Delta p = \frac{\rho v^2}{2}\ \text{(скоростной напор)}$

p: давление в потоке
v: скорость потока в этой точке
h: высота точки
$\rho$: плотность

Вдоль линии тока идеальной несжимаемой жидкости сумма давления, кинетической энергии единицы объёма и $\rho g h$ постоянна, это закон сохранения энергии для жидкости. Где скорость больше, давление меньше, отсюда подъёмная сила, пульверизатор и измерение скорости по перепаду давлений.

Встречается в задачах (8) 4.3.6 4.3.7 4.3.8 4.3.9 4.3.11 4.3.14 4.3.21 5.7.9

Реакция струи. Сила на изогнутую трубу Jet reaction and the force on a bent pipe

закон 4.3

накаждомконце$$F = \rho S v^2 + pS\ \text{на каждом конце}$$

выхвх$\displaystyle \vec F = \dot m(\vec v_{\text{вых}} - \vec v_{\text{вх}}) + \sum p\vec S$

струягаситсяостенку$\displaystyle F = \rho S v^2\ \text{(струя гасится о стенку)}$

$\rho S v$: масса, проходящая за секунду
p: давление в трубе
S: сечение

Труба или стенка получают силу, равную изменению импульса потока за секунду, плюс силы давления на сечениях входа и выхода. Отсюда реакция вытекающей струи $\rho S v^2 = 2\rho g h S$ , вдвое больше гидростатической силы на закрытое отверстие, и сила на колено трубы.

Встречается в задачах (6) 4.3.2 4.3.4 4.3.6 4.3.7 4.3.9 4.4.9

4.4Течение вязкой жидкости

Формула Пуазёйля Poiseuille's law

закон 4.4

Q = \frac{\pi R^4}{8\eta l}\,\Delta p

\displaystyle \bar v = \frac{R^2\Delta p}{8\eta l}

плёнкапонаклоннойплоскостинаединицуширины$\displaystyle Q = \frac{\rho g\sin\alpha}{3\eta}h^3\ \text{(плёнка по наклонной плоскости, на единицу ширины)}$

Q: объёмный расход
R, l: радиус и длина трубы
$\Delta p$: перепад давления на длине $$l$$
$\eta$: вязкость

В трубе вязкая жидкость течёт с параболическим профилем, и расход пропорционален четвёртой степени радиуса и перепаду давления. Вдвое более тонкая трубка при том же перепаде пропускает в 16 раз меньше. Перепад может создавать и сила тяжести, $\Delta p = \rho g l\sin\alpha$ .

Встречается в задачах (6) 4.4.2 4.4.3 4.4.5 4.4.6 4.4.7 4.6.4

Вязкое трение. Закон Ньютона Viscous friction

закон 4.4

F = \eta S\frac{dv}{dy}

шарформулаСтокса$\displaystyle F = 6\pi\eta r v\ \text{(шар, формула Стокса)}$

течениемеждупластинами$\displaystyle v(y) = v_0\frac{y}{h}\ \text{(течение между пластинами)}$

$\eta$: вязкость жидкости
$$dv/dy$$: градиент скорости поперёк потока
S: площадь слоя

Соседние слои жидкости, движущиеся с разными скоростями, тянут друг друга с силой, пропорциональной вязкости, площади и градиенту скорости. У стенки жидкость покоится. Отсюда линейный профиль скорости между движущимися пластинами и параболический в трубе или по наклонной плоскости.

Встречается в задачах (4) 4.4.1 4.4.2 4.4.4 4.4.5

4.5Поверхностное натяжение жидкости

Поверхностное натяжение Surface tension

определение 4.5

F = \sigma l, \qquad A = \sigma\,\Delta S

\displaystyle \sigma = \frac{F}{l} = \frac{A}{\Delta S}

плёнкасдвумяповерхностями$\displaystyle F = 2\sigma l\ \text{(плёнка с двумя поверхностями)}$

$\sigma$: коэффициент поверхностного натяжения
l: длина границы, вдоль которой действует сила
$\Delta S$: изменение площади поверхности

Поверхность жидкости ведёт себя как натянутая плёнка, сила на границе пропорциональна её длине и направлена по касательной к поверхности. Та же величина есть энергия единицы площади поверхности, и работа по созданию поверхности равна $\sigma\Delta S$ . У мыльной плёнки две поверхности.

Встречается в задачах (13) 4.5.3 4.5.4 4.5.6 4.5.7 4.5.8 4.5.9 4.5.12 4.5.22

Давление под искривлённой поверхностью. Формула Лапласа Laplace pressure

закон 4.5

сфера$$\Delta p = \sigma\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right), \qquad \Delta p_{\text{сфера}} = \frac{2\sigma}{R}$$

мыльныйпузырьдвеповерхности$\displaystyle \Delta p = \frac{4\sigma}{R}\ \text{(мыльный пузырь, две поверхности)}$

цилиндрическаяповерхность$\displaystyle \Delta p = \frac{\sigma}{R}\ \text{(цилиндрическая поверхность)}$

R₁, R₂: главные радиусы кривизны поверхности
$\sigma$: поверхностное натяжение
$\Delta p$: избыток давления с вогнутой стороны

Под выпуклой поверхностью давление больше, чем снаружи, на $\sigma$ , умноженное на кривизну. В капле воды это $2\sigma/R$ , в мыльном пузыре вдвое больше из-за двух поверхностей, у вогнутого мениска давление меньше атмосферного. Маленький пузырь давит сильнее большого, поэтому соединённые пузыри перекачивают воздух в больший.

Встречается в задачах (11) 4.5.16 4.5.17 4.5.18 4.5.19 4.6.4 4.6.5 4.6.9 4.6.12

4.6Капиллярные явления

Капиллярный подъём Capillary rise

закон 4.6

h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}

междудвумяпластинаминарасстоянииполноесмачивание$\displaystyle h = \frac{2\sigma}{\rho g d}\ \text{(между двумя пластинами на расстоянии }d\text{, полное смачивание)}$

r: радиус капилляра
$\theta$: краевой угол
$\sigma$: поверхностное натяжение
$\rho$: плотность жидкости

Смачивающая жидкость поднимается в тонкой трубке, пока вес столба $\rho g h\pi r^2$ не сравняется с силой натяжения по окружности $2\pi r\sigma\cos\theta$ , то же даёт давление Лапласа под вогнутым мениском. Несмачивающая жидкость опускается на ту же высоту. Между пластинами радиус кривизны мениска вдвое больше и подъём вдвое меньше.

Встречается в задачах (8) 4.6.2 4.6.3 4.6.5 4.6.7 4.6.10 4.6.13 4.6.14 4.6.17