← Формулы Савченко

10. Движение заряженных частиц в сложных поляхФормулы Савченко, глава 10 из 14, 10 формул

Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.

На этой странице таких формул нет.

10.1Движение в однородном магнитном поле

Радиус окружности в магнитном поле Radius of the circle in a magnetic field

закон 10.1

qvB = \frac{mv^2}{R}, \qquad R = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}

послеускоряющегонапряжения$\displaystyle R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}\ \text{(после ускоряющего напряжения }U)$

массспектрометр$\displaystyle D = 2R = \frac{2}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}\ \text{(масс-спектрометр)}$

q, m: заряд и масса частицы
v: скорость, перпендикулярная полю
B: индукция поля
R: радиус окружности

Сила Лоренца перпендикулярна скорости и потому только поворачивает её, частица идёт по окружности, у которой центростремительной силой служит $$qvB$$ . Радиус пропорционален импульсу, поэтому измерение радиуса в известном поле даёт импульс частицы, а через ускоряющее напряжение выходит масс-спектрометр, где ионы разной массы садятся на разные диаметры. Направление вращения зависит от знака заряда.

Энергия заряда в магнитном поле Energy of a charge in a magnetic field

закон 10.1

вмагнитномполепослеускорения$$\frac{mv^2}{2} = \text{const}\ \text{(в магнитном поле)}, \qquad \frac{mv^2}{2} = qU\ \text{(после ускорения)}$$

запираниемагнетронаэлектроннедолетаетдоанода$\displaystyle U \ge \frac{eB^2d^2}{2m}\ \text{(запирание магнетрона, электрон не долетает до анода)}$

v: скорость частицы
U: пройденное ускоряющее напряжение
d: зазор, который надо пересечь поперёк поля

Магнитное поле не совершает работы, поэтому модуль скорости в нём постоянен, а меняется лишь направление. Скорость влёта берут из ускоряющего напряжения через $$mv^2/2 = qU$$ . Чтобы пересечь зазор $$d$$ поперёк поля, диаметр окружности $$2mv/qB$$ должен быть не меньше $$d$$ , отсюда запирающее поле магнетрона или наименьшее напряжение.

Встречается в задачах (14) 2.3.11 3.4.18 5.6.14 5.9.4 10.1.4 10.1.6 10.1.18 10.1.19

Момент импульса и магнитный поток Angular momentum and magnetic flux

закон 10.1

L + \frac{q\Phi}{2\pi} = \text{const}, \qquad dL = -\frac{q}{2\pi}\,d\Phi

заряженноекольцоприизмененииполя$\displaystyle v = \frac{q(B_2 - B_1)R}{2m}\ \text{(заряженное кольцо при изменении поля)}$

раскруткапривключенииполя$\displaystyle \omega = \frac{qB}{2m}\ \text{(раскрутка при включении поля)}$

L: момент импульса частицы или кольца относительно оси
$\Phi$: магнитный поток сквозь её орбиту
q: заряд

При изменении потока сквозь орбиту вихревое электрическое поле $E\cdot2\pi r = -d\Phi/dt$ создаёт момент силы $$qEr$$ , и изменение момента импульса равно $-q\,\Delta\Phi/2\pi$ независимо от того, как менялось поле. Так раскручивается заряженное кольцо при включении поля, до угловой скорости $$qB/2m$$ , и так меняется вращение частицы, влетающей в область другого поля вдоль оси, теорема Буша. Та же величина стоит за ларморовской прецессией.

Встречается в задачах (13) 10.1.15 10.1.21 10.1.22 10.1.23 10.1.24 10.1.25 10.1.26 10.1.27

Период и частота обращения в магнитном поле Cyclotron period and frequency

закон 10.1

T = \frac{2\pi m}{qB}, \qquad \omega = \frac{qB}{m}

ларморовскаяпрецессияорбиты$\displaystyle \Delta\omega = \frac{eB}{2m}\ \text{(ларморовская прецессия орбиты)}$

поворотнаугол$\displaystyle t = \frac{\alpha m}{qB}\ \text{(поворот на угол }\alpha)$

T: период обращения
$\omega$: циклотронная частота
q, m: заряд и масса

Период $2\pi R/v$ с $$R = mv/qB$$ не зависит ни от скорости, ни от радиуса, только от отношения $$q/m$$ и поля. На этом основан циклотрон, где напряжение на дуантах меняется с той же частотой, и за каждый полуоборот частица получает $$qU$$ . Время поворота на любой угол $\alpha$ равно $\alpha m/qB$ . Слабое поле, наложенное на атом, меняет частоту орбиты электрона на $$eB/2m$$ , это ларморовская прецессия.

Встречается в задачах (9) 10.1.3 10.1.5 10.1.11 10.1.12 10.1.15 10.1.18 10.1.19 10.2.2

Винтовая линия в магнитном поле Helical motion in a magnetic field

закон 10.1

R = \frac{mv\sin\alpha}{qB}, \qquad h = v_\parallel T = \frac{2\pi m v\cos\alpha}{qB}

фокусировкапучкапродольнымполемчерезодиноборот$\displaystyle x_f = \frac{2\pi mv}{qB}\ \text{(фокусировка пучка продольным полем через один оборот)}$

$\alpha$: угол между скоростью и полем
R: радиус винтовой линии
h: шаг винта
$v_\parallel, v_\perp$: составляющие скорости вдоль и поперёк поля

Продольная составляющая скорости полем не меняется, поперечная даёт вращение по окружности радиуса $mv_\perp/qB$ , и вместе выходит винтовая линия. Шаг винта равен продольной скорости на период, который от скорости не зависит, поэтому пучок частиц с одной скоростью и малым разбросом углов через один оборот собирается снова на оси, это магнитная фокусировка. Расходящийся пучок с малым углом $\delta\alpha$ имеет там поперечник порядка $R\,\delta\alpha^3$ .

Встречается в задачах (7) 1.3.27 1.3.30 7.1.2 10.1.10 10.1.11 10.1.12 10.1.27

Адиабатический инвариант. Магнитная пробка Adiabatic invariant. Magnetic mirror

закон 10.1

меняетсякр$$\frac{mv_\perp^2}{2B} = \text{const}, \qquad \frac{v_\parallel}{\sqrt B}\ \text{меняется}, \qquad \sin^2\alpha_{\text{кр}} = \frac{B_1}{B_2}$$

потоксквозьорбитусохраняется$\displaystyle B R^2 = \text{const}\ \text{(поток сквозь орбиту сохраняется)}$

\displaystyle \frac{\sin^2\alpha}{B} = \text{const}

$v_\perp, v_\parallel$: составляющие скорости поперёк и вдоль поля
B₁: поле там, где угол равен $\alpha$
B₂: наибольшее поле, в горловине пробки
$кр$\alpha_{\text{кр}}$$: наименьший угол к полю, при котором частица ещё отражается

В медленно меняющемся вдоль линии поле поток сквозь орбиту частицы сохраняется, то есть $$BR^2$$ и вместе с ним $v_\perp^2/B$ постоянны, а полная скорость сохраняется всегда, потому что магнитная сила не работает. Продвигаясь в область сильного поля, частица переводит продольную скорость в поперечную и отражается там, где $B = B_1/\sin^2\alpha$ . Частицы с малыми углами в горловину проходят, доля удерживаемых определяется телесным углом.

Встречается в задачах (5) 10.1.27 10.1.28 10.1.29 11.5.1 11.5.2

Отклонение в электрическом и магнитном полях Deflection in electric and magnetic fields

метод 10.1

p_y = -\frac{eEl}{v}, \qquad p_z = -eBl, \qquad \frac{y}{z} = \frac{E}{Bv}

методпараболТомсона$\displaystyle \frac{q}{m} = \frac{E z^2}{B^2 l L\, y}\ \text{(метод парабол Томсона)}$

E, B: параллельные электрическое и магнитное поля на участке длины $$l$$
v: скорость частицы вдоль оси
L: расстояние до экрана
y, z: отклонения от электрического и от магнитного поля

На коротком участке поперечные импульсы от каждого поля считают отдельно, электрическое даёт $$eEl/v$$ , магнитное $$eBl$$ , и дальше частица летит прямо. Отношение отклонений даёт скорость, а одно из них с известной скоростью отношение $$e/m$$ . При разбросе скоростей след на экране лежит на параболе $y \propto z^2$ , откуда Томсон измерил $$e/m$$ и открыл изотопы. Через $$p$$ вместо $$mv$$ формулы верны и при релятивистских скоростях.

Встречается в задачах (1) 10.1.17

10.2Дрейфовое движение частиц

Дрейф в скрещённых полях Drift in crossed fields

закон 10.2

дрдр$$\vec v_{\text{др}} = \frac{[\vec E\times\vec B]}{B^2}, \qquad v_{\text{др}} = \frac{E}{B}$$

скоростьвдрейфующейсистеме$\displaystyle v' = \sqrt{v^2 + \frac{E^2}{B^2} - 2v\frac{E}{B}\sin\alpha}\ \text{(скорость в дрейфующей системе)}$

размахциклоиды$\displaystyle y_{\max} = \frac{2m(Bv - E)}{eB^2}\ \text{(размах циклоиды)}$

$\vec E, \vec B$: перпендикулярные электрическое и магнитное поля
$др$v_{\text{др}}$$: скорость дрейфа, одна для любых зарядов
$y_{\max}$: размах циклоиды поперёк дрейфа

В системе отсчёта, движущейся со скоростью $$E/B$$ поперёк обоих полей, электрическое поле исчезает, и частица просто вращается по окружности, а в лаборатории её движение есть окружность плюс равномерный снос, циклоида. Скорость дрейфа не зависит от заряда, массы и знака заряда. Частица, влетевшая со скоростью $$v$$ , вращается в дрейфующей системе со скоростью $$v - E/B$$ и уходит от прямой на удвоенный радиус этого вращения.

Встречается в задачах (16) 10.2.3 10.2.4 10.2.5 10.2.6 10.2.7 10.2.8 10.2.9 10.2.10

Дрейф под действием силы Drift under a force

закон 10.2

дрдр$$\vec v_{\text{др}} = \frac{[\vec F\times\vec B]}{qB^2}, \qquad v_{\text{др}} = \frac{F}{qB}$$

дрвполетяжестипоперёкии$\displaystyle v_{\text{др}} = \frac{mg}{qB}\ \text{(в поле тяжести, поперёк и }\vec g\text{, и }\vec B)$

дрградиентныйдрейф$\displaystyle v_{\text{др}} \approx \frac{\alpha m v^2}{eB_0}\ \text{(градиентный дрейф, }B = B_0(1 + \alpha x))$

$\vec F$: постоянная сила поперёк поля, тяжесть, электрическая, любая
q: заряд, дрейф от силы тяжести зависит от его знака
$\alpha$: относительный градиент поля

Любая постоянная сила поперёк магнитного поля даёт дрейф, перпендикулярный и силе, и полю, со скоростью $$F/qB$$ , при которой сила Лоренца от дрейфа как раз компенсирует $$F$$ , а остаток движения есть вращение. Электрическая сила даёт $$E/B$$ для всех, сила тяжести $$mg/qB$$ , разную по величине и направлению для ионов и электронов, отсюда токи. Неоднородность поля тоже даёт дрейф, радиус на стороне сильного поля меньше, и за оборот частица смещается.

Встречается в задачах (4) 10.2.1 10.2.2 10.2.11 10.2.12

Движение в скрещённых полях из состояния покоя Motion in crossed fields from rest

закон 10.2

зап$$y_{\max} = \frac{2mE}{qB^2}, \qquad U_{\text{зап}} = \frac{eB^2d^2}{2m}$$

связьпродольнойскоростиисмещенияпоперёк$\displaystyle m v_x = eBy\ \text{(связь продольной скорости и смещения поперёк)}$

навершинециклоиды$\displaystyle v_{\max} = \frac{2E}{B}\ \text{(на вершине циклоиды)}$

E: электрическое поле между катодом и анодом
B: магнитное поле вдоль пластин
d: расстояние до анода
$зап$U_{\text{зап}}$$: напряжение, ниже которого электроны не доходят до анода

Электрон, вылетевший из покоя, движется по циклоиде с дрейфом $$E/B$$ и поднимается над катодом не выше $$2mE/qB^2$$ , удвоенного радиуса вращения при скорости $$E/B$$ . Уравнения движения интегрируются один раз в $$mv_x = eBy$$ , и вместе с сохранением энергии это даёт высоту подъёма без решения полной задачи. Если высота меньше зазора, ток на анод прекращается, что даёт способ измерить $$e/m$$ по запирающему напряжению или полю.

Встречается в задачах (4) 4.4.7 10.1.19 10.2.8 10.2.9