← Формулы Савченко

1. КинематикаФормулы Савченко, глава 1 из 14, 31 формула

Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.

На этой странице таких формул нет.

1.1Движение с постоянной скоростью

Равномерное движение Uniform motion

закон 1.1

$$x = x_0 + vt$$

\displaystyle s = vt

\displaystyle v = \frac{s}{t}

x: координата в момент $$t$$
x₀: начальная координата
v: скорость
s: пройденный путь

При постоянной скорости путь растёт пропорционально времени, а координата меняется линейно. Скорость равна пути, делённому на время, и с той же формулой считают время прохождения сигналом или светом заданного расстояния.

Средняя скорость Average speed

определение 1.1

ср$$v_{\text{ср}} = \frac{S}{t}$$

ср$\displaystyle v_{\text{ср}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

S: весь пройденный путь
t: всё время движения
v₁, v₂: скорости на двух половинах пути

Средняя скорость есть весь путь, делённый на всё время, включая остановки. Если две половины пути пройдены со скоростями $$v_1$$ и $$v_2$$ , средняя скорость равна их среднему гармоническому, а не среднему арифметическому.

Встречается в задачах (10) 1.1.15 1.2.1 1.2.7 1.3.1 2.3.29 3.3.36 5.4.8 5.4.16

Скорость сближения и удаления Closing and separating speed

метод 1.1

t = \frac{l}{v_1 + v_2}

сбл$\displaystyle v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2$

уд$\displaystyle v_{\text{уд}} = |v_1 - v_2|$

l: расстояние между телами
v₁, v₂: скорости тел

Тела, движущиеся навстречу, сближаются со скоростью $$v_1 + v_2$$ , движущиеся в одну сторону догоняют друг друга со скоростью $$|v_1 - v_2|$$ . Время встречи или обгона равно расстоянию, делённому на эту скорость.

Встречается в задачах (5) 1.1.6 1.2.5 1.4.7 2.7.45 14.1.6

Скорость по компонентам Velocity from its components

определение 1.1

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}

\displaystyle v_x = v\cos\alpha,\quad v_y = v\sin\alpha

v_x, v_y, v_z: проекции скорости на оси
$\alpha$: угол между скоростью и осью $$x$$

Скорость есть вектор. Модуль находят по теореме Пифагора из проекций, а проекции по модулю и углу. Складывать и вычитать скорости нужно покомпонентно или по правилу треугольника.

Встречается в задачах (3) 1.1.3 1.4.9 14.4.4

1.2Движение с переменной скоростью

Равноускоренное движение Uniformly accelerated motion

закон 1.2

x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}, \qquad v = v_0 + at

\displaystyle v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)

\displaystyle x - x_0 = \frac{v_0 + v}{2}\,t

изсостоянияпокоя$\displaystyle v = \sqrt{2as}\ \text{(из состояния покоя)}$

x₀, v₀: координата и скорость в начальный момент
a: постоянное ускорение
s: путь из состояния покоя

При постоянном ускорении скорость меняется линейно, а координата квадратично. Третья формула получается исключением времени и удобна, когда время не спрашивают. Все величины здесь проекции на одну ось со знаками.

Скорость как производная координаты Velocity as the derivative of the coordinate

определение 1.2

v = \frac{dx}{dt}

\displaystyle \vec v = \frac{d\vec r}{dt}

\displaystyle v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}

x: координата
$\vec r$: радиус-вектор
t: время

Мгновенная скорость есть предел отношения перемещения к промежутку времени, то есть производная координаты по времени. На графике $$x(t)$$ это наклон касательной. Скорость направлена по касательной к траектории.

Ускорение как производная скорости Acceleration as the derivative of velocity

определение 1.2

a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}

\displaystyle \vec a = \frac{d\vec v}{dt}

\displaystyle \Delta v = a\,\Delta t

a: ускорение
v: скорость

Ускорение есть быстрота изменения вектора скорости, производная скорости по времени. Оно направлено туда, куда меняется скорость, и при криволинейном движении не совпадает с направлением скорости.

Встречается в задачах (11) 1.2.16 1.2.17 2.1.49 2.2.41 2.6.42 3.2.32 3.3.29 4.3.18

Путь как интеграл скорости Distance as the integral of velocity

закон 1.2

x(t) = x_0 + \int_0^t v\,dt

\displaystyle v(t) = v_0 + \int_0^t a\,dt

\displaystyle \Delta x = v\,\Delta t

$$v(t)$$: скорость как функция времени
$\Delta x$: перемещение за малое время $\Delta t$

Перемещение есть площадь под графиком скорости, изменение скорости площадь под графиком ускорения. За малое время путь равен $v\,\Delta t$ , и складывая такие кусочки, получают интеграл. Так решают задачи, где скорость задана графиком или формулой.

Встречается в задачах (10) 1.2.18 1.5.17 2.2.22 2.2.39 2.3.29 7.3.6 7.3.11 8.1.16

Объёмный расход Volume flow rate

определение 1.2

q = \frac{dV}{dt} = Sv

q: расход, объём в единицу времени
V: объём
S: площадь сечения
v: скорость потока

Объём, проходящий через сечение за время $$dt$$ , равен $Sv\,dt$ . Если объём растёт с известной скоростью, то скорость границы находят, поделив расход на площадь сечения в этом месте. Тот же расход сохраняется вдоль трубы.

Встречается в задачах (6) 1.2.10 1.2.11 1.2.12 4.4.6 4.4.7 8.4.15

Условие встречи Meeting condition

метод 1.2

$$x_1(t) = x_2(t)$$

$$x_1(t), x_2(t)$$: законы движения двух тел на одной оси

Два тела встречаются в момент, когда их координаты совпадают. Записав закон движения каждого тела в одной системе отсчёта и приравняв координаты, получают уравнение на время встречи.

Встречается в задачах (4) 1.1.14 1.2.2 3.4.18 7.1.25

1.3Движение в поле тяжести. Криволинейное движение

Центростремительное ускорение Centripetal acceleration

закон 1.3

a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R

\displaystyle a_n = \frac{4\pi^2 R}{T^2}

\displaystyle F_n = \frac{mv^2}{R}

v: скорость точки
R: радиус окружности или радиус кривизны
$\omega$: угловая скорость
T: период обращения

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью ускорение направлено к центру и равно $$v^2/R$$ . Для любой кривой это нормальная составляющая ускорения с $$R$$ радиусом кривизны в данной точке. Умноженное на массу оно даёт сумму сил по нормали.

Угловая скорость и период Angular velocity and period

определение 1.3

\omega = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu, \qquad v = \omega R

\displaystyle T = \frac{2\pi R}{v}

\displaystyle \nu = \frac{1}{T}

$\varphi$: угол поворота
T: период обращения
$\nu$: частота, оборотов в секунду
R: радиус

Угловая скорость есть угол, проходимый за единицу времени. За период тело поворачивается на $2\pi$ , и линейная скорость точки на расстоянии $$R$$ от оси равна $\omega R$ . У всех точек вращающегося тела одна угловая скорость, а линейные скорости пропорциональны расстоянию до оси.

Свободное падение Free fall

закон 1.3

h = \frac{gt^2}{2}, \qquad v = gt, \qquad v = \sqrt{2gh}

\displaystyle t = \sqrt{\frac{2h}{g}}

\displaystyle v = v_0 - gt,\qquad h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}

h: пройденная высота
g: ускорение свободного падения, $$9{,}8$$ м/с $$^2$$
v₀: начальная скорость по вертикали

Вблизи Земли все тела падают с одним ускорением $$g$$ , направленным вниз, независимо от массы. Это равноускоренное движение с $$a = g$$ . Тело, брошенное вверх, поднимается за время $$v_0/g$$ на высоту $$v_0^2/2g$$ и возвращается с той же по модулю скоростью.

Встречается в задачах (18) 1.3.1 1.3.2 1.3.4 1.4.11 1.4.12 1.5.4 2.1.9 2.2.32

Тело, брошенное под углом к горизонту Projectile motion

закон 1.3

x = v_0 t\cos\alpha, \qquad y = v_0 t\sin\alpha - \frac{gt^2}{2}

v₀: начальная скорость
$\alpha$: угол броска к горизонту
x, y: горизонтальная и вертикальная координаты

Движение по горизонтали равномерное, по вертикали равноускоренное с ускорением $$g$$ вниз, и они независимы. Записав обе координаты как функции времени, исключают время или находят его из одного уравнения и подставляют в другое.

Встречается в задачах (9) 1.3.6 1.3.10 1.3.11 1.3.13 1.3.15 1.3.18 1.3.27 1.3.30

Тангенциальное и нормальное ускорения Tangential and normal acceleration

закон 1.3

a_\tau = \frac{dv}{dt}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R}, \qquad a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}

$a_\tau$: составляющая вдоль скорости, меняет модуль скорости
a_n: составляющая по нормали, поворачивает скорость
R: радиус кривизны

Ускорение раскладывают на касательную составляющую, отвечающую за изменение модуля скорости, и нормальную, отвечающую за поворот. Полное ускорение есть их векторная сумма. При равномерном движении по кривой остаётся только нормальное.

Встречается в задачах (9) 1.3.24 1.3.25 1.3.29 1.5.12 2.1.53 2.1.63 2.1.64 2.3.22

Скорость брошенного тела по компонентам Velocity components of a projectile

закон 1.3

v_x = v_0\cos\alpha, \qquad v_y = v_0\sin\alpha - gt

v_x: горизонтальная проекция, не меняется
v_y: вертикальная проекция
$\alpha$: угол броска

Горизонтальная составляющая скорости сохраняется, вертикальная убывает на $$g$$ за секунду. В верхней точке $$v_y = 0$$ . Угол наклона скорости к горизонту в любой момент даёт $\tan\varphi = v_y/v_x$ .

Встречается в задачах (8) 1.3.5 1.3.6 1.3.14 1.3.27 1.3.30 1.4.12 2.4.16 7.3.9

Высота и время полёта Maximum height and time of flight

закон 1.3

H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}, \qquad T = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}

под$\displaystyle t_{\text{под}} = \frac{v_0\sin\alpha}{g}$

нанаклоннойплоскостиподуглом$\displaystyle T = \frac{2v_0\sin\alpha}{g\cos\beta}\ \text{(на наклонной плоскости под углом }\beta)$

H: наибольшая высота подъёма
T: время полёта до исходной высоты
$под$t_{\text{под}}$$: время подъёма до верхней точки

В верхней точке вертикальная скорость обращается в нуль, отсюда время подъёма $v_0\sin\alpha/g$ и высота $v_0^2\sin^2\alpha/2g$ . Спуск занимает столько же, сколько подъём, поэтому полное время вдвое больше. На наклонной плоскости оси удобно направить вдоль неё и по нормали.

Встречается в задачах (7) 1.3.6 1.3.10 1.3.12 1.3.16 1.3.27 1.4.11 2.3.19

Ускорение вдоль гладкой наклонной плоскости Acceleration along a smooth incline

закон 1.3

a = g\sin\alpha

вдольхордыподугломквертикали$\displaystyle a = g\cos\varphi\ \text{(вдоль хорды под углом }\varphi\text{ к вертикали)}$

$\alpha$: угол наклона плоскости к горизонту
$g\cos\alpha$: составляющая $$g$$ по нормали к плоскости

Вдоль направления, составляющего угол с вертикалью, действует только проекция ускорения свободного падения на это направление. По гладкой наклонной плоскости тело скользит с ускорением $g\sin\alpha$ , а по хорде, наклонённой под углом $\varphi$ к вертикали, с ускорением $g\cos\varphi$ .

Встречается в задачах (7) 1.3.2 1.3.3 1.3.28 1.5.4 2.1.49 2.3.22 3.2.6

Дальность полёта Range of a projectile

закон 1.3

L = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}

\displaystyle L = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}

при$\displaystyle L_{\max} = \frac{v_0^2}{g}\ \text{при}\ \alpha = 45^\circ$

L: дальность по горизонтали
v₀: начальная скорость
$\alpha$: угол броска

Время полёта до той же высоты равно $2v_0\sin\alpha/g$ , умноженное на горизонтальную скорость $v_0\cos\alpha$ оно даёт дальность. Наибольшая дальность при $45^\circ$ , углы $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$ дают одну и ту же дальность.

Встречается в задачах (5) 1.3.6 1.3.12 1.3.18 1.3.19 1.3.27

Уравнение траектории Trajectory equation

закон 1.3

y = x\tan\alpha - \frac{g x^2}{2 v_0^2\cos^2\alpha}

\displaystyle y = x\tan\alpha - \frac{g x^2}{2v_0^2}\,(1 + \tan^2\alpha)

x, y: координаты точки траектории
v₀: начальная скорость
$\alpha$: угол броска

Исключив время из $$x(t)$$ и $$y(t)$$ , получают параболу. Форма с $\tan\alpha$ есть квадратное уравнение относительно $\tan\alpha$ , так находят угол, под которым нужно бросить, чтобы попасть в заданную точку.

Встречается в задачах (2) 1.3.6 1.3.13

Относительное движение двух тел в поле тяжести Relative motion of two bodies in gravity

метод 1.3

отнотнотн$$\vec v_{\text{отн}} = \text{const}, \qquad \vec r_{\text{отн}} = \vec r_{0} + \vec v_{\text{отн}}\, t$$

$отн$\vec v_{\text{отн}}$$: скорость одного тела относительно другого
$отн$\vec r_{\text{отн}}$$: вектор от одного тела к другому

Оба тела имеют одно и то же ускорение $$g$$ , поэтому их относительная скорость не меняется, и одно тело движется относительно другого равномерно и прямолинейно. Расстояние между ними считают как в задаче без тяжести.

Встречается в задачах (2) 1.3.1 1.3.14

Радиус кривизны траектории Radius of curvature of a trajectory

метод 1.3

R = \frac{v^2}{a_n}

ввершинепараболы$\displaystyle R = \frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}\ \text{(в вершине параболы)}$

вточкегдескоростьнаклоненаподуглом$\displaystyle R = \frac{v^2}{g\cos\varphi}\ \text{(в точке, где скорость наклонена под углом }\varphi)$

R: радиус окружности, касающейся траектории в данной точке
a_n: нормальное ускорение в этой точке
v: скорость в этой точке

Радиус кривизны находят, зная скорость и нормальную составляющую ускорения в точке. Для брошенного тела ускорение есть $$g$$ , его нормальная часть $g\cos\varphi$ , где $\varphi$ угол наклона скорости, поэтому в вершине параболы $$R = v_x^2/g$$ .

Встречается в задачах (2) 1.3.28 1.5.8

Парабола безопасности Envelope of trajectories

закон 1.3

y = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g x^2}{2 v_0^2}

\displaystyle v_{\min}^2 = g\left(y + \sqrt{x^2 + y^2}\right)

v₀: начальная скорость
$v_{\min}$: наименьшая скорость, с которой можно попасть в точку $$(x, y)$$

Все траектории с одной начальной скоростью лежат внутри этой параболы, точки вне неё недостижимы. Условие касания есть обращение в нуль дискриминанта уравнения траектории относительно $\tan\alpha$ . Отсюда же минимальная скорость для попадания в заданную точку.

Встречается в задачах (1) 1.3.13

1.4Преобразование Галилея

Сложение скоростей Addition of velocities

закон 1.4

\vec v = \vec v\,' + \vec u

отн$\displaystyle \vec v_{\text{отн}} = \vec v_1 - \vec v_2$

отн$\displaystyle v_{\text{отн}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2 v_1 v_2\cos\alpha}$

$\vec v$: скорость тела относительно неподвижной системы
$\vec v\,'$: скорость тела относительно движущейся системы
$\vec u$: скорость движущейся системы

Скорость тела относительно земли есть векторная сумма его скорости относительно движущейся системы отсчёта и скорости самой системы. Относительная скорость двух тел есть разность их скоростей. Задачу часто проще решать в системе, где одно из тел покоится.

Треугольник скоростей Triangle of velocities

метод 1.4

\sin\alpha = \frac{u}{v}

отн$\displaystyle v_{\text{отн}} = \sqrt{v^2 - u^2}$

\displaystyle \tan\varphi = \frac{u}{v}

v: скорость тела относительно среды, например лодки относительно воды
u: скорость среды, течения или ветра
$\alpha$: угол между скоростью и нужным направлением

Скорость относительно земли, скорость относительно среды и скорость среды образуют треугольник. Чтобы плыть поперёк реки, нос направляют против течения так, чтобы $v\sin\alpha = u$ . Кратчайшее время переправы даёт скорость, перпендикулярная берегу.

Отражение от движущейся стенки Reflection from a moving wall

закон 1.4

$$v' = -v + 2u$$

\displaystyle \Delta v = -2(v - u)

стенкадвижетсянавстречу$\displaystyle v' = v + 2u\ \text{(стенка движется навстречу)}$

v: скорость тела до удара, по нормали к стенке
u: скорость стенки
$$v'$$: скорость после удара

В системе отсчёта стенки удар упругий и нормальная составляющая скорости просто меняет знак. Возвращаясь в неподвижную систему, получают, что тело отскакивает от приближающейся стенки быстрее на $$2u$$ , а от удаляющейся медленнее на $$2u$$ . Касательная составляющая не меняется.

Встречается в задачах (3) 1.4.8 1.4.9 1.4.12

Преобразование Галилея Galilean transformation

закон 1.4

\vec r\,' = \vec r - \vec u\,t, \qquad t' = t

\displaystyle \vec v\,' = \vec v - \vec u

\displaystyle \vec a\,' = \vec a

$\vec r, \vec r\,'$: радиус-векторы точки в неподвижной и движущейся системах
$\vec u$: постоянная скорость движущейся системы

Переход в систему отсчёта, движущуюся равномерно и прямолинейно, вычитает из координат $\vec u t$ , из скоростей $\vec u$ и не меняет ускорений и промежутков времени. Законы механики во всех таких системах одинаковы.

Встречается в задачах (1) 1.4.3

1.5Движение со связями

Связь через нерастяжимую нить Constraint of an inextensible rope

метод 1.5

v_1\cos\alpha_1 = v_2\cos\alpha_2

\displaystyle u = \frac{v}{\cos\alpha}

v₁, v₂: скорости концов нити
$\alpha_1, \alpha_2$: углы между скоростями и нитью

Нерастяжимая нить не может ни удлиняться, ни укорачиваться, поэтому проекции скоростей её концов на направление нити равны. Отсюда связь скоростей грузов, блоков и точек стержня, для стержня то же условие относится к скоростям его концов.

Встречается в задачах (19) 1.1.12 1.3.6 1.3.27 1.3.28 1.3.30 1.5.7 1.5.12 1.5.13

Качение без проскальзывания Rolling without slipping

закон 1.5

верхниз$$v_O = \omega R, \qquad v_{\text{верх}} = 2v_O, \qquad v_{\text{низ}} = 0$$

\displaystyle \vec v_A = \vec v_O + \vec\omega\times\vec r_A

\displaystyle v_A = 2v_O\cos\frac{\varphi}{2}

v_O: скорость центра катящегося тела
$\omega$: угловая скорость
R: радиус
v_A: скорость точки обода, $\varphi$ угол от нижней точки

Точка касания с опорой покоится, поэтому скорость центра равна $\omega R$ , а верхняя точка движется вдвое быстрее центра. Скорость любой точки есть сумма скорости центра и скорости вращения вокруг центра. Если катится по движущейся опоре, к этому добавляется её скорость.

Встречается в задачах (10) 1.5.2 1.5.8 1.5.12 2.3.24 2.6.37 2.7.34 2.7.47 2.8.37

Мгновенный центр скоростей Instantaneous centre of rotation

метод 1.5

v_A = \omega\,|CA|

C: точка, скорость которой в данный момент равна нулю
$$|CA|$$: расстояние от неё до точки $$A$$
$\omega$: угловая скорость тела

В каждый момент плоское движение твёрдого тела есть вращение вокруг точки, скорость которой равна нулю. Она лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек, и скорость любой точки равна $\omega$ , умноженной на расстояние до этого центра. Расстояние до мгновенного центра не есть радиус кривизны траектории точки, потому что сам центр движется.

Встречается в задачах (4) 1.5.9 1.5.12 1.5.17 1.5.18

1. КинематикаФормулы Савченко, глава 1 из 14, 31 формула

1.1Движение с постоянной скоростью

Равномерное движение Uniform motion

Средняя скорость Average speed

Скорость сближения и удаления Closing and separating speed

Скорость по компонентам Velocity from its components

1.2Движение с переменной скоростью

Равноускоренное движение Uniformly accelerated motion

Скорость как производная координаты Velocity as the derivative of the coordinate

Ускорение как производная скорости Acceleration as the derivative of velocity

Путь как интеграл скорости Distance as the integral of velocity

Объёмный расход Volume flow rate

Условие встречи Meeting condition

1.3Движение в поле тяжести. Криволинейное движение

Центростремительное ускорение Centripetal acceleration

Угловая скорость и период Angular velocity and period

Свободное падение Free fall

Тело, брошенное под углом к горизонту Projectile motion

Тангенциальное и нормальное ускорения Tangential and normal acceleration

Скорость брошенного тела по компонентам Velocity components of a projectile

Высота и время полёта Maximum height and time of flight

Ускорение вдоль гладкой наклонной плоскости Acceleration along a smooth incline

Дальность полёта Range of a projectile

Уравнение траектории Trajectory equation

Относительное движение двух тел в поле тяжести Relative motion of two bodies in gravity

Радиус кривизны траектории Radius of curvature of a trajectory

Парабола безопасности Envelope of trajectories

1.4Преобразование Галилея

Сложение скоростей Addition of velocities

Треугольник скоростей Triangle of velocities

Отражение от движущейся стенки Reflection from a moving wall

Преобразование Галилея Galilean transformation

1.5Движение со связями

Связь через нерастяжимую нить Constraint of an inextensible rope

Качение без проскальзывания Rolling without slipping

Мгновенный центр скоростей Instantaneous centre of rotation

Дифференцирование связи Differentiating a constraint