← Формулы Савченко

0. МатематикаФормулы Савченко, глава 0 из 14, 11 формул

Разделы идут как в книге, внутри раздела чаще используемые формулы стоят первыми. Курсив у номера задачи значит, что формула встречается в её условии. Наведите курсор на номер, чтобы увидеть условие.

На этой странице таких формул нет.

0.1Приближения

Малые углы Small angles

метод 0.1

\sin\alpha \approx \tan\alpha \approx \alpha, \qquad \cos\alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}

$\alpha$: угол в радианах, $\alpha \ll 1$

Верно только для угла в радианах. Малые колебания маятника, параксиальные лучи, малые отклонения от равновесия сводятся к этим заменам. Если в ответ входит разность $1 - \cos\alpha$ , первого приближения $\cos\alpha \approx 1$ мало и нужен квадратичный член.

Бином для малой добавки Binomial approximation

метод 0.1

(1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha x, \qquad |x| \ll 1

\displaystyle \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2}

\displaystyle \frac{1}{1 + x} \approx 1 - x

x: малая добавка
$\alpha$: любой показатель, целый, дробный, отрицательный

Главный инструмент оценок у Савченко. Разность двух близких величин, например $\sqrt{l^2 + d^2} - l \approx d^2/2l$ , находят, вынося большую величину за скобку и раскладывая остаток. Следующий член разложения равен $\alpha(\alpha - 1)x^2/2$ , его берут, когда первый сокращается.

Встречается в задачах (17) 1.5.14 1.5.15 2.5.28 2.6.50 3.1.9 3.1.12 3.1.13 3.1.14

Логарифм и экспонента малого аргумента Logarithm and exponent of a small argument

метод 0.1

\ln(1 + x) \approx x, \qquad e^x \approx 1 + x

x: малая величина

Так точная формула с логарифмом или экспонентой (барометрическая, изотермическая работа, разрядка конденсатора) переходит в линейную, когда изменение мало.

Встречается в задачах (3) 3.5.20 4.2.22 11.4.3

0.2Производные и интегралы

Уравнение с разделяющимися переменными Separable equation and exponential decay

метод 0.2

\frac{dx}{dt} = -\frac{x}{\tau} \;\Rightarrow\; x(t) = x_0 e^{-t/\tau}

x₀: начальное значение
$\tau$: время уменьшения в $$e$$ раз

Когда скорость убывания пропорциональна самой величине, переменные разделяют, $dx/x = -dt/\tau$ , и интегрируют, $\ln(x/x_0) = -t/\tau$ . Так разряжается конденсатор, затухают колебания, ослабевает свет, трение каната о столб даёт $F = F_0e^{\mu\alpha}$ .

Встречается в задачах (12) 2.1.45 2.3.33 3.5.16 3.5.17 3.5.19 3.5.20 3.5.21 8.2.11

Производная сложной функции Chain rule

метод 0.2

\frac{d}{dt}f(x(t)) = f'(x)\,\frac{dx}{dt}

$$f(x)$$: функция от величины, зависящей от времени

Скорость изменения величины, зависящей от угла или координаты, равна производной по этой величине, умноженной на скорость её изменения. Так из $x = A\sin\omega t$ получают $v = A\omega\cos\omega t$ , а из $y = f\tan\gamma$ скорость зайчика $f\dot\gamma/\cos^2\gamma$ .

Встречается в задачах (4) 3.3.1 11.1.7 11.1.8 13.3.5

0.3Векторы

Модуль вектора по составляющим Magnitude from components

метод 0.3

a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}

a_x, a_y: взаимно перпендикулярные составляющие

Складывать так можно только перпендикулярные составляющие, например касательное и нормальное ускорения или скорости в двух перпендикулярных движениях. Для векторов под углом нужна теорема косинусов.

Встречается в задачах (16) 1.1.3 1.3.29 1.4.9 1.4.10 1.4.17 2.1.63 2.2.16 2.3.18

Сумма векторов под углом Sum of vectors at an angle

метод 0.3

|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha

теоремакосинусовдлятреугольника$\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\ \text{(теорема косинусов для треугольника)}$

a, b: модули векторов
$\alpha$: угол между векторами

Это теорема косинусов для треугольника, составленного из векторов. В законах сохранения импульса при разлёте или ударе под углом она связывает модули импульсов без перехода к составляющим.

Встречается в задачах (7) 2.5.15 2.5.17 2.5.18 2.5.31 9.2.7 9.2.17 12.1.4

0.4Тригонометрия и геометрия

Площадь круга, сферы и объём шара Area of a circle, a sphere and volume of a ball

значение 0.4

сф$$S_{\circ} = \pi r^2, \qquad S_{\text{сф}} = 4\pi r^2, \qquad V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

r: радиус

Площадь сферы есть производная объёма шара по радиусу, поэтому масса тонкого сферического слоя равна $4\pi r^2\rho\,dr$ . Через диаметр площадь круга $\pi d^2/4$ .

Синус и косинус суммы Sine and cosine of a sum

метод 0.4

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

\displaystyle \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha

\displaystyle \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha

$\alpha, \beta$: углы

Нужны при сложении колебаний, для дальности полёта $l = v^2\sin2\alpha/g$ и при переходе к повёрнутым осям.

Встречается в задачах (3) 7.1.22 12.1.4 14.1.4

Теорема синусов Law of sines

метод 0.4

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

a, b, c: стороны треугольника
$\alpha, \beta, \gamma$: противолежащие углы

Удобна в треугольнике скоростей, когда известны направления, но не модули, например при переправе через реку или сложении скоростей ветра и самолёта.

Встречается в задачах (1) 3.7.19

0.5Уравнения

Квадратное уравнение Quadratic equation

метод 0.5

ax^2 + bx + c = 0 \;\Rightarrow\; x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

a, b, c: коэффициенты

Два корня означают два физических ответа или один лишний, который отбрасывают по смыслу (отрицательное время, скорость больше начальной). Требование, чтобы корни существовали, $b^2 \geq 4ac$ , часто и есть ответ на вопрос о наименьшей скорости или предельном угле.

Встречается в задачах (3) 1.2.8 2.3.40 14.2.17